Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.

Problem minimuma u trouglu

[es] :: Matematika :: Problem minimuma u trouglu

Strane: 1 2 3

[ Pregleda: 4436 | Odgovora: 46 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Autor

Pretraga teme: Traži
Markiranje Štampanje RSS

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 1951
*.adsl.eunet.rs.



+370 Profil

icon Problem minimuma u trouglu02.10.2020. u 10:56 - pre 42 meseci
Radi se o 30-tom zadatku sa Kengura 2010 za 11-12 razred.

Da li ima neko korektno rešenje?

Pretpostavka da je PQ paralelno sa AB se ne(sme) uvesti?

Zadatak i neko rešenje su u prilogu.



[Ovu poruku je menjao miki069 dana 02.10.2020. u 13:18 GMT+1]
Prikačeni fajlovi
 
Odgovor na temu

djoka_l
Beograd

Član broj: 56075
Poruke: 3445

Jabber: djoka_l


+1462 Profil

icon Re: Problem minimuma u trouglu02.10.2020. u 13:09 - pre 42 meseci
Ja sam radio slišno kao ti.
Nisam koristio sinuse uglova nego činjenicu da se dobiju slični trouglovi, pa sam odnose stranica stavio u zbir.
Druga razlika, ono što si ti nazvao x, meni je bilo a-x, a ono što si ti nazvao y, ja sam stavio b-y

Na kraju sam dobio da je zbir stranica (2ab-bx-ay)/c +sqrt(x^2 + y^2)

Pošto mi se nisu radili izvodi, probao sam da stavim ekstremne vrednosti, pa sam našao da mi je minimalan rezultat 2ab/c, a to je i bio jedan od ponuđenih odgovora.

Za proveru sam napravio u Excelu tabelu sa trouglom koji ima katete 3 i 4 i varirao x i y u koracima po 0.1 i dobio isti rezultat...

Prikačeni fajlovi
 
Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 1951
*.mbb.telenor.rs.



+370 Profil

icon Re: Problem minimuma u trouglu02.10.2020. u 18:47 - pre 42 meseci
Izvodi i ne pomazu jer suma nije diferencijabilna za X=0 i Y=0 (koristio sam tvoje resenje).
Pretpostavka o paralelnosti PQ sa AB daje ispravno resenje za problem minimuma, a pogresno za maksimum. Za problem maksimuma ne pomaze ni tvoja metodologija rubnih tacaka.
 
Odgovor na temu

djoka_l
Beograd

Član broj: 56075
Poruke: 3445

Jabber: djoka_l


+1462 Profil

icon Re: Problem minimuma u trouglu02.10.2020. u 19:28 - pre 42 meseci
Za slučaj x=0 i y=0 dobijamo komponentu vrednosti izvoda 0/0 , pa iako je vrednost neodređena, može da se nađe vrednost primenom Lopitalove teoreme.
Međutim, obzirom na uzrast za koji je namenjen zadatak, nisam smatrao da je primenljivo da se radi parcijalna intregracija funkcije 2 promenljive. Čak mislim da se ni na fakultetima do druge ili treće godine ne rade takve stvari.

Ja sam rešenje proverio i na wolframu, s tim da sam uzeo "blaža" ograničenja, x<=4 i y<=3 za trougao koji ima katete 3 i 4, čisto da ne bih dobio previše opšte rešenje. Praktično rešenja sa negativnim vrednostima x i y nemaju smisla, ali sam ostavio da to reši wolfram.

https://www.wolframalpha.com/i...2%29+for+x%3C%3D4+and+y%3C%3D3

Wolfram nalazi da je vrednost x i y skup tačaka (ne obavezno nule), što sam video i u mom excelu
ono što kaže wolfram je da je minimum 2ab/c za sve tačke P i Q za koje važi da je y=ax/b
 
Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 1951
*.mbb.telenor.rs.



+370 Profil

icon Re: Problem minimuma u trouglu02.10.2020. u 20:12 - pre 42 meseci
Zaboravimo uzrast. Lopitalovo pravilo ne pomaze kod funkcije dveju promenljivih. Ako bi resavali problem maksimuma iste sume, sta onda kazu Wolfram i Excel?
 
Odgovor na temu

djoka_l
Beograd

Član broj: 56075
Poruke: 3445

Jabber: djoka_l


+1462 Profil

icon Re: Problem minimuma u trouglu02.10.2020. u 22:13 - pre 42 meseci
Excel kaže da je maksimum kada je Q na kraju duže katete, a P se poklapa sa tačkom C. Za wolfram nisam tražio rešenje za maksimalnu vrednost.
Ja sam do rešenja došao pre nego što sam proverio u excelu i wolframu, a pošto je pitanje bilo abcd pitalica, jedini logičan odgovor mi je bio onaj koji si i ti zaokružio. Čak nije bilo potrebno pokazati ni postupak, ja sam stao kada sam dobio izraz za zbir traženih duži, i jedino je tvoj odgovor imao smisla, a bez dublje analize...

Mislim da je ovo bio prilično težak zadatak, možda je postojala brža i jednostavnija verzija postupka, ali ja do nje nisam došao.
 
Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 1951
109.245.225.*



+370 Profil

icon Re: Problem minimuma u trouglu03.10.2020. u 05:28 - pre 42 meseci
Nisam ni ja. Mozda neko uspe.
 
Odgovor na temu

peromalosutra
Ivan Rajkovic
Software engineer
Luxoft
Berlin

Član broj: 54774
Poruke: 871
..ynamic.kabel-deutschland.de.



+148 Profil

icon Re: Problem minimuma u trouglu03.10.2020. u 09:38 - pre 42 meseci
Mislim da je rjesenje a:b=ctg(15).

Na brzinu sam isjekao sliku pa telefonu pa se ne vidi najbolje. Uglavnom, oznaceni ugao je 15 stepeni, sto se lako pokazuje na osnovu datog ugla od 30 i cinjenice da je ugao dijagonale kvadrata 45. Nakon toga se samo pozove na trigonometriju.


Dakle rjesenje je pod B: (2+sqrt(3)):1

Numericki je 2+sqrt(3) = ctg(15), e sad vjerovatno bi i to trebalo pokazati.

[Ovu poruku je menjao peromalosutra dana 03.10.2020. u 11:54 GMT+1]

Prikačeni fajlovi
 
Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 1951
*.mbb.telenor.rs.



+370 Profil

icon Re: Problem minimuma u trouglu03.10.2020. u 10:48 - pre 42 meseci
Pero ne treba 26-ti vec 30-ti zadatak.
 
Odgovor na temu

peromalosutra
Ivan Rajkovic
Software engineer
Luxoft
Berlin

Član broj: 54774
Poruke: 871
..ynamic.kabel-deutschland.de.



+148 Profil

icon Re: Problem minimuma u trouglu03.10.2020. u 11:31 - pre 42 meseci
Uh, pardoniram :) Izgleda da nisam ni procitao pitanje kako treba.

 
Odgovor na temu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3996
87.116.163.*

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253


+605 Profil

icon Re: Problem minimuma u trouglu03.10.2020. u 11:57 - pre 42 meseci
Citat:
miki069:
Pretpostavka da je PQ paralelno sa AB se ne(sme) uvesti?

Čini mi se da sledeće rešenje prolazi: zamislimo još i da je tačka Q fiksirana, i samo tačku P pomeramo po kateti BC; zanima nas kada se minimum dostiže za taj fiksirani položaj tačke Q. Ispostavlja se da se minimum dostiže kad su trouglovi ABC i PQC slični, i to baš u ovom redosledu temena (nadam se da nisam zeznuo račun: prosto možemo posmatrati prvi izvod one funkcije koju miki069 ima na prvoj strani, ali to posmatramo kao funkciju jedne promenljive, samo po x, sve ostalo su konstante; verovatno može i nekim kreativnijim argumentom pošto zaključak ima lepu geometrijsku interpretaciju, ali svakako je i ovo skroz pravolinijski). Dakle, odatle zaključujemo da ne možemo baš uvesti ovu pretpostavku koju sam citirao gore, ali možemo malo drugačiju, njoj srodnu (posmatramo samo položaje prave PQ koji odsecaju trougao PQC sličan trouglu ABC, ali, napominjem, baš u ovom redosledu temena, to je tačno obratan redosled od onog koji bismo imali kada bi PQ i AB bile paralelne). Pa sad kad imamo tako restrikovan položaj prave PQ, odatle nije teško dovršiti.

Ovo sve gore je bilo za računanje minimuma. Ako nas zanima maksimum, onda je čak malo jednostavnije: isti argument (fiksiramo jednu tačku pa mrdamo samo drugu) vodi do zaključka da jedna tačka mora biti baš u temenu, i onda je praktično trivijalno.
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.
 
Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 1951
*.mbb.telenor.rs.



+370 Profil

icon Re: Problem minimuma u trouglu04.10.2020. u 12:20 - pre 42 meseci
Hvala Bojane.
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.isp.telekom.rs.



+2789 Profil

icon Re: Problem minimuma u trouglu04.10.2020. u 16:06 - pre 42 meseci
Samo da razjasnim šta znači da se nešto može pretpostaviti bez umanjenja opštosti.

Recimo da imamo neke aktuelne pretpostavke A i da treba da izvedemo neki zaključak B. Iskaz da bez umanjenja opštosti možemo pretpostaviti C znači da važi

.

Drugim rečima, to znači da željeni stav možemo izvesti kao posledicu stava .
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 1951
*.mbb.telenor.rs.



+370 Profil

icon Re: Problem minimuma u trouglu04.10.2020. u 21:41 - pre 42 meseci
Ako je C netacan iskaz? Navedena implikaciia nije tautologija? Jasno je da A tacan iskaz. Problem je iskaz B.
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.isp.telekom.rs.



+2789 Profil

icon Re: Problem minimuma u trouglu04.10.2020. u 22:25 - pre 42 meseci
A i B imaju nepoznate istinitosne vrednosti i treba dokazati da je isključeno da je A tačan, a B netačan.

Za to je dovoljno dokazati da je isključeno da je A tačan, a B i C netačni (to znači da se C može pretpostaviti bez umanjenja opštosti) i da je isključeno da su A i C tačni, a B netačan (što znači da B sledi iz A i C).

To znači da je isključena mogućnost da je A tačno, a B netačno, bez obzira da li je C tačno ili netačno.

Ima ovo opštiju formulaciju, ali za početak ovako.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 1951
*.mbb.telenor.rs.



+370 Profil

icon Re: Problem minimuma u trouglu04.10.2020. u 23:02 - pre 42 meseci
A je tačan jer je to pretpostavka zadatka.
Ako bi C bio netačan, formula je tačna i ako je tvrđenje B netačno.



[Ovu poruku je menjao miki069 dana 05.10.2020. u 06:55 GMT+1]
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.isp.telekom.rs.



+2789 Profil

icon Re: Problem minimuma u trouglu05.10.2020. u 08:34 - pre 42 meseci
Zadatak je dokazati da .

Dakle, treba izvesti protivrečnost iz , odnosno dokazati da .

To možeš učiniti diskusijom po , odnosno tako što dokažeš da (odnosno da se može pretpostaviti bez umanjenja opštosti) i (odnosno da tvrđenje važi uz dodatnu pretpostavku ).
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

mjanjic
Šikagou

Član broj: 187539
Poruke: 2679



+690 Profil

icon Re: Problem minimuma u trouglu05.10.2020. u 20:51 - pre 42 meseci
Bojan je dao dobru ideju, mislim da važi činjenica da je npr. PQ + HQ minimalno kada su PCQ i AHQ slični.

Sećam se prošlogodišnjeg zadatka sa primenom na ETF-u, nešto tipa iz tačke (2,3) i (3,5) se povuku duži do tačke M između 2 i 3 na x-osi, naći položaj tačke M tako da zbir duži iz date 2 tačke do tačke M bude minimalna - rešenje je takvo da te duži sa visinama iz datih tačaka na x-osu i delovima x-ose grade slične trouglove - to je problem konopca vezanog krajevima za vrhove stubova različite visine koji dodiruje tlo, minimalna dužina se dobija u tački koja je teme sličnih trouglova (stubovi, linije na tlu od tačke dodira konpoca sa tlom i stubova, i samog konopca).
Nisam imao vremena da proveravam dokaz ovoga, ali su i ovi na ETF-u valjda računali na poznavanje tog problema, pa se dati zadatak onda rešava brzo. Ako se krene sa izvodima i sl., brzo se pogubi u računu, i mislim da se to rešava pomoću nejednakosti, gde je granični slučaj jednakost, ali sam zaboravio koju nejednakost treba primeniti.

Dakle, rešenje bi trebalo da bude da je trougao PCQ bude sličan trouglu ABC.

Međutim, to važi kada jedna od tačaka P i Q fiksirana.
Problem je što, ako zadržimo princip, a pomeramo obe tačke P i Q, dobijamo praktično da je P = Q = C, a K = H, čime se u stvari i dobija ekstrem za funkciju koju je odredio miki (ispod nacrtanog trougla, na strani 2, zaokruženo rešenje u zadatku dobija se za x=a, y=b, samo pošto je c nepoznato, u rešenju su umesto c napisali koren iz a^2+b^2).
Da li je minimum slučaj kada je P=Q=C ili kada je Q=A, može lako da se proveri, pa ću preći na sledeći slučaj.


Drugi slučaj, kada je trougao PCQ kao lik u ogledalu u odnosu na prethodni slučaj trougla PCQ, ima dva ekstrema - ono koje je već prethodno dobijeno, i drugo za koje važi P=B=K, Q=A=H. U tom slučaju, zbir datih duži je jednak c, pa treba proveriti da li je to veće ili manje od prethodno dobijenog rešenja.
Dakle, pretpostavimo da je prvo dobijeno rešenje minimum, tada je:

što je uvek tačno!
Blessed are those who can laugh at themselves, for they shall never cease to be amused.
 
Odgovor na temu

Časlav Ilić
Braunšvajg, Nemačka

Član broj: 4945
Poruke: 565
2a01:c22:8c31:1d00:4ecc:6aff..



+27 Profil

icon Re: Problem minimuma u trouglu06.10.2020. u 13:20 - pre 42 meseci
Nešto ne vidim potrebu za specijalnim zaključivanjem ako sme da se koristi znanje uslova da izvod sume po oba parametra, npr. kao x i y koje je uveo Miki, mora da bude nula u ekstremumu. To što funkcija nije diferencijabilna za neke vrednosti parametera može, ali ne mora da bude bitno, u zavisnosti od položaja ekstremuma. Ja sam (čisto slučajno, svejedno je) uveo obrnute parametre od Mikija, takve da mere od temena pravog ugla do tačaka P i Q, nazovimo ih a' i b'. Kad se sa njima sastavi tražena suma i njeni izvodi po a' i b' izjednače sa nulom, dobije se da je rešenje svako a' i b' za koje važi a'/b' = b/a (tj. dobije se u prethodnom porukama već pomenuta sličnost odgovarajućih trouglova); uz prirodna ograničenja 0 <= a' <= a i 0 < b' <= b. Onda izaberem npr. a' = 1/a i b' = 1/b, ubacim u sumu, i dobijem rešenje pod V. (Da je ovaj ekstremum zapravo minimum a ne maksimum, ne treba dokazivati ako se veruje postavci zadatka.)
 
Odgovor na temu

mjanjic
Šikagou

Član broj: 187539
Poruke: 2679



+690 Profil

icon Re: Problem minimuma u trouglu06.10.2020. u 20:36 - pre 42 meseci
Ponuđena rešenja mogu da budu takva izvedeš pogrešan zaključak ako sve ne proveriš. Ovde to možda nije potrebno, ali da nismo znali koje je rešenje tačno, pitanje je kako bismo došli do tačnog rešenja i da li bismo bili sigurni da je to zaista tačno rešenje.
Blessed are those who can laugh at themselves, for they shall never cease to be amused.
 
Odgovor na temu

[es] :: Matematika :: Problem minimuma u trouglu

Strane: 1 2 3

[ Pregleda: 4436 | Odgovora: 46 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.