Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.

Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)

[es] :: Matematika :: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)

Strane: < .. 1 2 3 4

[ Pregleda: 18123 | Odgovora: 79 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Autor

Pretraga teme: Traži
Markiranje Štampanje RSS

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 1951
*.dynamic.mbb.telenor.rs.



+370 Profil

icon Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)02.05.2023. u 06:30 - pre 11 meseci
Nizom ekvivalencija je dokazano:

(f(c)-f(a))/(c-a) < (f(b)-f(a))/(b-a)

To ne znači da je f(x)/x rastuća funkcija.
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.isp.telekom.rs.



+2789 Profil

icon Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)02.05.2023. u 07:42 - pre 11 meseci
Nego šta znači za i ?
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.isp.telekom.rs.



+2789 Profil

icon Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)02.05.2023. u 08:38 - pre 11 meseci
@BrutalCoin

Dakle, iz nejednakosti



sledi da za svako važi

.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 1951
*.mbb.telenor.rs.



+370 Profil

icon Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)02.05.2023. u 08:45 - pre 11 meseci
Za a=0 i ako je f(0)=0, znači da je rastuća.
Za neko drugo a ne znači ništa.
Ako f(0) nije nula, takođe ne znači ništa.

Pošto je tg(0)=0, može se primeniti.

Kada smo dokazali da traženi limes postoji, kako dokazujemo da je = 1?

[Ovu poruku je menjao miki069 dana 02.05.2023. u 09:56 GMT+1]
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.isp.telekom.rs.



+2789 Profil

icon Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)02.05.2023. u 17:14 - pre 11 meseci
, pa iz konkavnosti funkcije i konveksnosti funkcije sledi da je opadajuća, a rastuća funkcija.
Monotone funkcije imaju limes u nuli sa desne strane. Pokazao sam kako se izvodi da je taj limes pozitivan i konačan.

Ako uglove meriš u stepenima, a ne u radijanima, onda taj limes nije jednak 1. Međutim, moguć je izbor funkcije mere ugla (koja je određena jednoznačno do na multiplikativnu konstantu), tako da taj limes bude jednak jedinici.

Za takav izbor funkcije mere ugla važi da je i , pa je brzina tačke konstantno jednaka jedinici, odakle sledi da je ta funkcija mere ugla jednaka meri ugla u radijanima.

Edit: promenjeno u .

[Ovu poruku je menjao Nedeljko dana 02.05.2023. u 21:36 GMT+1]
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

BrutalCoin

Član broj: 337807
Poruke: 126



+103 Profil

icon Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)03.05.2023. u 05:07 - pre 11 meseci
Svi prethodni navedeni metodi dokazivanja "padaju u vodu" jer se pozivaju na izvod sin' = cos.

Ti sad napišeš da važi (sin(x))' = cos(x)

Šta je onda u tvom izvodjenju dokaza novo kad smo i za (sada već klasičan) geometrijski metod polazili od te iste pretpostavke ((sin(x))' = cos(x)) a zatim taj metod dokazivanja odbacivali upravo zbog te (nedokazane) pretpostavke?

 
Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 1951
*.mbb.telenor.rs.



+370 Profil

icon Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)03.05.2023. u 08:13 - pre 11 meseci
Ne poziva se nigde u dokazu na izvod.

Kada prihvatimo da je limes = 1, dokazuje da je mera ugla bila u radijanima a ne u stepenima ili gradijanima.
Koristi vektor brzine, da bi dokazao radijane. A brzina je prvi izvod radijus vektora.

Za mene je dokaz korektan.

Još samo da dokažem konveksnost za tg(x).
Nije baš trivijalno kao dokaz konkavnosti za sin(x), ali je rešivo.
 
Odgovor na temu

BrutalCoin

Član broj: 337807
Poruke: 126



+103 Profil

icon Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)03.05.2023. u 09:13 - pre 11 meseci
Citat:
Za takav izbor funkcije mere ugla važi da je (sin(x))' = cos(x) i (cos(x))' = -sin(x), pa je brzina tačke konstantno jednaka jedinici

Prvo ima izvod "pa" na osnovu toga zaključuje da je brzina konstantno jednaka jedinici.

Zar to nije korišćenje izvoda?

Mislim, ono, nismo ni morali da potežemo Jensenove nejednakosti nago odmah, du - "imamo takvu meru ugla za koju je brzina konstanto jednaka jedinici!"

Onda samo još da odgonetnemo kako smo izabrali baš takvu funkciju?
Trial & error?
 
Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 1951
*.mbb.telenor.rs.



+370 Profil

icon Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)03.05.2023. u 10:00 - pre 11 meseci
Kada bi ugao x merili u stepenima, onda bi rezultat limesa bio pi/180, a ne 1.

Kada bi ugao x merili u gradijanima, onda bi rezultat limesa bio neki treći broj.
Ne znam koji, jer ne znam definiciju gradijana.

Nedeljko je dokazao da je rezultat limesa konstanta veća od 0 i manja od beskonačnosti.

Ako prihvatimo da je limes 1, onda tražimo meru ugla.

Može i obrnuto.


Mislim da je sve korektno.
 
Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 1951
*.dynamic.mbb.telenor.rs.



+370 Profil

icon Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)03.05.2023. u 13:32 - pre 11 meseci
Preko dužine upisanih tetiva.



Preko kosinisne teoreme se lako dokaže da je dužina tetive BD jednaka 2*sin(x/2).

Ako kružni luk podelimo simetralom ugla x, dobijemo dve upisane tetive čiji je zbir 4*sin(x/4).
Posle sledeće podele uglova x/2 simetralama imamo 4 tetive čiji je zbir jednak 8*sin(x/8).

Posle n-1 iteracije imamo da je zbir tetiva jednak 2^n*sin(x/(2^n)).

Kada pustimo da n teži u beskonačno, intuitivno, zbir tetiva teži dužini kružnog luka x.

To jest 2^n*sin(x/(2^n)) teži x.

Odatle sin(x/(2^n)) teži ka x/(2^n), što je i dokaz traženog limesa.



Prikačeni fajlovi
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.isp.telekom.rs.



+2789 Profil

icon Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)03.05.2023. u 14:17 - pre 11 meseci
Mera ugla se može odabrati tako da važi , a odatle se lako izvode obrasci za izvode sinusa i kosinusa za istu tu meru ugla.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 1951
*.mbb.telenor.rs.



+370 Profil

icon Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)03.05.2023. u 15:27 - pre 11 meseci
Da ne petljam sa simetralama.

BD = 2*sin(x/2) < x

Da li može da se prihvati da kada x teži nuli da dužina tetive BD teži ka x?
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.isp.telekom.rs.



+2789 Profil

icon Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)03.05.2023. u 19:56 - pre 11 meseci
Ne može jer je x promenljiva iz graničnog procesa. Verovatno si mislio da količnik te dve veličine teži jedinici. Opet, to zavisi od izbora funckije mere ugla.

Moguć je i pristup sa površinama, ali onda ima drugih stavova koje treba dokazati.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

BrutalCoin

Član broj: 337807
Poruke: 126



+103 Profil

icon Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)04.05.2023. u 10:48 - pre 10 meseci
Citat:
miki069

Kada bi ugao x merili u stepenima, onda bi rezultat limesa bio pi/180, a ne 1.

Sad sam ukapirao...

Vi pod "funkcija mere ugla" podrazumevate jedinice mere.
Ja to posmatram kao dva različita pojma.

Onda u redu (za limes =1).

Tada imaš odgovor i na pitanje
Citat:
Da li može da se prihvati da kada x teži nuli da dužina tetive BD teži ka x?

Dužina tetiva nije funkcija mere ugla, jer ako bi dužinu tetiva uzeli za funkciju mere ugla tada za uglove

α1 + α2 = α3

može biti

M(α1) + M(α2) > M(α3)

pa dužina tetiva nije odgovarajuća mera.
 
Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 1951
*.mbb.telenor.rs.



+370 Profil

icon Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)04.05.2023. u 16:35 - pre 10 meseci
Nigde ne mogu da nađem stav da je obim pravilnog n-tougla veći od obima u njega upisane kružnice.

Dokaz tog stava bi ujedno bio i lagan dokaz ovog limesa.


Dokazao sam konveksnost funkcije tg(x) na intervalu [0,π/2).
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.isp.telekom.rs.



+2789 Profil

icon Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)04.05.2023. u 23:37 - pre 10 meseci
Za taj pristup preko površina treba dokazati da se mera ugla može definisati kao površina odgovarajućeg kružnog isečka jediničnog poluprečnika. To se dokazuje primenom invarijantnosti mere za izometrije i aditivnosti mere. Uvedena mera je polovina mere u radijanima. Onda se može primeniti metod sa površinama.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 1951
*.dynamic.mbb.telenor.rs.



+370 Profil

icon Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)22.05.2023. u 08:39 - pre 10 meseci
Da ne otvaram novu temu.

Kako bi išao dokaz za:



Posle dokaza da je funkcija konveksna imamo da je funkcija rastuća.
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.isp.telekom.rs.



+2789 Profil

icon Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)22.05.2023. u 21:18 - pre 10 meseci
Prvo uvedi funkciju za i racionalno. Onda dokaži , , i monotoniju i iskoristi za da dokažeš da ako je niz racionalnih brojeva koji teži nuli da je onda . To iskoristi da dokažeš sledeće: ako je rastući niz racionalnih brojeva, a opadajući niz racionalnih brojeva, pri čemu je , onda mora biti , odnosno . To ti omogućava da definišeš jednoznačno za i realno kao jedinstevno neprekidno produženje sa racionalnih eksponenata na realne.

Funkcija je za J-konveksna i neprekidna, pa je konveksna, pa je funkcija rastuća. Kada sa desne strane teži nuli, onda opada, ali je stalno veće od nule, pa konvergira nenegativnoj vrednosti. Za je

,

pa se konvergencija svodi na konvergenciju u slučaju da je . Analogno važi i u slučaju kada teži nuli sa leve strane. Pošto smo dokazali konvergenciju, možemo definisati funkciju

.

Sada se lako izvodi da je

.

Ako je , onda je pa je funkcija konstantna i jednaka vrednosti pa je . Dakle, za je , dok za važi . Iz identiteta



sledi da je .

Odatle sledi da je , odnosno

, .

Takođe, smenom se dobija da važi

.

Sada je lako izvesti strogu monotoniju funkcije . Za je

.

Slično, iz i sledi neograničenost funkcije i odozgo i odozdo. Dokažimo neprekidnost.

Iz monotonije sledi da postoje limesi i sa leve i sa desne strane. Svaka monotona funkcija može imati najviše prebrojivo mnogo tačaka prekida, pa postoje tačke u kojima je funkcija neprekidna. Neka je neprkidna u tački . Za svaki niz koji konvergira nekoj tački važi da niz konvergira ka , pa važi

,

pa je neprekidna i u tački . Dakle, neprekidna je svuda. Pritom je i sa ob strane neograničena i strogo rastuća, pa je bijekcija skup na , pa postoji jedinstvena vrednost za koju je . Tada važi

,

a samim tim i

.

Pritom je

,

pa je ništa drugo do inverzna funkcija funkcije , odnosno logaritam za osnovu . Izvod funkcije se sada može izvesti kao izvod inverza funkcije .
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.isp.telekom.rs.



+2789 Profil

icon Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)23.05.2023. u 07:36 - pre 10 meseci
Isparvka, definicija funkcije treba da glasi

za .
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

sikira069
Miki

Član broj: 348726
Poruke: 3
*.mbb.telenor.rs.



+9 Profil

icon Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)18.02.2024. u 21:38 - pre 39 dana i 4h
Citat:
miki069:
Preko dužine upisanih tetiva.



Preko kosinisne teoreme se lako dokaže da je dužina tetive BD jednaka 2*sin(x/2).

Ako kružni luk podelimo simetralom ugla x, dobijemo dve upisane tetive čiji je zbir 4*sin(x/4).
Posle sledeće podele uglova x/2 simetralama imamo 4 tetive čiji je zbir jednak 8*sin(x/8).

Posle n-1 iteracije imamo da je zbir tetiva jednak 2^n*sin(x/(2^n)).

Kada pustimo da n teži u beskonačno, intuitivno, zbir tetiva teži dužini kružnog luka x.

To jest 2^n*sin(x/(2^n)) teži x.

Odatle sin(x/(2^n)) teži ka x/(2^n), što je i dokaz traženog limesa.



Ako pustimo da n teži u beskonačnost imamo dokaz traženog limesa.

Korektno?
 
Odgovor na temu

[es] :: Matematika :: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)

Strane: < .. 1 2 3 4

[ Pregleda: 18123 | Odgovora: 79 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.