Za prvu:
Zanemarujuci rotaciju Zemlje, ovo je brzina koju je potrebno dati telu tangencijalno na povrsinu Zemlje da bi se (bez prisustva atmosfere) na povrsini Zemlje to telo naslo u kruznoj orbiti.
U ovom slucaju, ubrzanje zemljine teze balansirano je centrifugalnim ubrzanjem u orbiti:
tj.
gde je R_z = 6400km poluprecnik Zemlje a g = 9.8m/s^2 ubrzanje Zemljine teze.
Primeti da je na ovaj nacin prvu kosmicku brzinu u principu mogao da odredi jos Arhimed -- znao je i ubrzanje zemljine teze i poluprecnik Zemlje!
Za drugu:
Opet zanemarujuci rotaciju Zemlje, brzina koju je potrebno dati telu u bilo kom pravcu (uvis, naravno) da bi napustilo gravitacioni uticaj Zemlje.
Energija u potencijalnoj gravitacionoj jami Zemlje:
gde je
gravitaciona konstanta,
masa Zemlje a
poluprecnik Zemlje.
Ubrzanje na povrsini Zemlje je pak:
pa je zato
Da bi napustio Zemlju, kineticka energija treba da ti je jednaka -V tj. totalna energija treba da ti je nula. Zato
ili
--
puta vise od prve kosmicke brzine.
Za trecu:
Brzina koju je potrebno dati telu sa povrsine Zemlje u pravcu kretanja Zemlje oko Sunca da bi napustilo gravitacioni uticaj Sunca.
Ovaj pravac je optimalan jer se sa Zemljom vec kreces oko Sunca u tom pravcu.
Posto je Zemlja mnogo manja od svoje orbite oko Sunca, ovo mozemo resiti u dva koraka. Ako damo brzinu v sa povrsine Zemlje, tokom kretanja uvis Zemljina gravitacija nam pojede energiju koja odgovara drugoj kosmickoj brzini. Zato po napustanju Zemlje, kineticka energija koja ostaje u odnosu na Zemlju je
gde je dv brzina koja nam ostaje u odnosu na Zemlju.
Za ostatak problema treba da znamo nesto o suncevom gravitacionom polju i Zemljinoj orbiti u njemu. Ja predlazem da koristimo period revolucije Zemlje oko Sunca i poluprecnik orbite Zemlje oko Sunca. Ovo prvo je naravno 1 godina. Ovo drugo znam kao ~8 svetlosnih minuta. Takodje znam da je jedan parsec -- rastojanje sa koga poluprecnik Zemljine orbite oko Sunca zaklapa 1 sekundu ugla oko 3.3 svetlosne godine, sto opet znaci da je poluprecnik oko 8.7 svetlosnih minuta.
Onda:
gde je R rastojanje od Zemlje do Sunca,
,
masa Sunca i
totalna brzina rakete u pravcu oko Sunca.
Da bi napustio Sunce, V + T = 0 ili
ili
ili
ili
gde je c brzina svetlosti ili
To nam daje trecu kosmicku brzinu kao
kosmicke brzine - izvodjenja formula
