[es] - zadatak iz vjerovatnoce

ridme
kllik bazilik
sa

Član broj: 143086
Poruke: 7
*.PPPoE-1149.sa.bih.net.ba.

Profil

^{24.04.2007. u 00:10 - pre 206 meseci}

Evo jedan zadatak koji mi zadaje probleme, molio bih da ga pogledate i ako moze rjesite pa da uporedim.

Tri zatvorenika se obavještena da će jedan od njih biti zadržan u zatvoru, a druga dva će biti puštena. Jedan od njih, zatvorenik A, moli čuvara da mu kaže koji će od ostale dvojice biti pušten, tvrdeći da time ne dobija vrijednu informaciju jer je sigurno da će (bar) jedan od zatvorenika B, C biti pušten. Čuvar odbija da mu odgovori, jer smatra da bi se time vjerovatnoća zatvorenika A da ostane u zatvoru (koja je sada 1/3) promijenila na 1/2, s obzirom na to da bi tada A bio jedan
od dvojice koji mogu da ostanu u zatvoru. Da li je čuvar u pravu?

Ako je, zasto je,a ako nje, zasto nije.

Moja rjesenja su:

1.

Vjerovatnoca svakog zatvorenika da ce ostati je 1/3, tj. nakon sto su saznali da ce 2 van ,a da jedan ostaje. Ukoliko ekvivalentiramo molbu zatvorenika A sa dogadjajem da je jedan od preostala 2 zatvorenika pusten (radi lakseg donosenja zakljucaka) tj. izasao je i ostali su zatvorenik A i onaj drugi nesretnik sto je ekvivalentno sa informacijom da ce jedan izaci, dakle B ili C(naravno ukoliko se cuvar ne bi zafrkavao pa dao laznu informaciju), tada se vjerovatnoca ostanka, nakon sto je jedan izasao ili nakon sto su dobili informaciju da jedan izlazi, zatvorenika A poveca na ½ a takodje i drugogo zatvorenika koji je ostao. Dakle cuvar je upravu.

2.

Predpostavimo da je B pusten i nek je to dogadjaj b. Sada je vjerovatnoca da ce A biti pusten P(A/b)=[P(A)*P(b/A)]/P(b) gdje je:

P(b)=P(A)P(b/A)+P(B)P(b/B)+P(C)P(b/C)
P(A)=P(B)=P(C)=1/3
P(b/A)=1/2
P(b/B)=0
P(b/C)=1
pa je P(A/b)=1/3 => cuvar nije upravu. (inace ovo sam sa prijateljem rjesavao).

3.

Neka je sada b dogadjaj da je pusten jedan od B ili C(sto je inace pitanje od A). Tada je:
P(b/A)=1
P(b/B)=1/2
P(b/C)=1/2

pa je sada P(A/b)=1/2 sto potvrdjuje 1.

HELP PLEASE!!!

math

Odgovor na temu

Daniel011
Beograd

Član broj: 76088
Poruke: 1101
*.dynamic.sbb.co.yu.

ICQ: 2336441

+3 Profil

Re: zadatak iz vjerovatnoce

^{24.04.2007. u 01:15 - pre 206 meseci}

Ukratko, čuvar nije u pravu, tj. tačan je rezon pod 2. (S tim da si, verovatno, pod događajem A podrazumevao događaj da će zatvorenik A biti zadržan, a ne pušten?)

U razmišljanju pod 1. se previđa činjenica da izbor čuvara nije nezavisan događaj, nego zavisi od dve stvari: od prethodne odluke koja će dva zatvorenika biti puštena, kao i od toga koji će ga od 3 zatvorenika pitati za tu informaciju. Zbog toga se problem ne sme posmatrati tako pojednostavljeno kao što je to učinjeno pod 1.

Razmišljanje pod 3.
Prilično zbunjuješ ovim oznakama. Mogu jedino da nagađam šta znači malo a, a šta veliko A itd. Ovde pretpostavljam da pod velikim A podrazumevaš događaj da će A biti pušten, B da će B biti pušten i C da će C biti pušten. Drugo, sa b si označio događaj da je jedan od B ili C pušten. Ali tu treba biti precizan: da li to znači bar jedan od B ili C, ili znači samo jedan od B ili C? Ja pretpostavljan da znači samo jedan, jer u slučaju da b znači bar jedan, verovatnoća događaja b bi bila 1.
Ti me ispravi ako sam ove oznake pogrešno protumačio.
Dakle, sa ovako protumačenim oznakama, verovatnoća koju si tražio, P(A/b), označava verovatnoću da će A biti pušten kada je poznato da je pušten samo jedan od B ili C. (I ta verovatnoća iznosi 1, ne znam kako si ti dobio 1/2). Ali to nije ona verovatnoća koja nas interesuje, jer time što je čuvar zatvoreniku A rekao koji će od B ili C biti pušten, nije mu rekao da li je taj što će biti pušten, jedini od te preostale dvojice koji ide napolje, ili i onaj drugi ide napolje zajedno sa njim. Odnosno, A i dalje ne zna da li će biti ostvaren događaj koji si ti obeležio sa b.

Možda će ti biti od pomoći ako pogledaš jedan sličan problem o kome smo razvili žustru raspravu pre nekih mesec dana. Tamo se spominju dva slučaja, jedan sa kovertama, a jedan sa vratima. Ta dva slučaja su međusobno potpuno različita, a ovaj slučaj sa zatvorenicima bi mogao da se poistoveti sa slučajem sa vratima (ali ne i sa kovertama!)

Odgovor na temu

ridme
kllik bazilik
sa

Član broj: 143086
Poruke: 7
*.PPPoE-2552.sa.bih.net.ba.

Profil

Re: zadatak iz vjerovatnoce

^{24.04.2007. u 08:14 - pre 206 meseci}

Ja sam ti to sinoc oko 2h postavljo tako da sam bio umoran za detaljnija objasnjenja, moja greska, sorry, ovako pod:

2.

P(A/b)-vjerovatnoca da ce A ostati u zatvoru pod uslovom da je B pusten tj. da mu je cuvar rekao da ce biti pusten
e sad sta me malo buni

P(b/A)=1/2-ako A ostaje u zatvoru jednako je vjerovatno da ce cuvar reci da ostaje B ili C(a napravili smo predpostavku da je B pusten)
P(b/C)=1-ako C ostaje onda sigurno izlazi B
P(b/B)=0-kao B izlazi sigurno tako da je vjerovatnoca da ostane 0

2.

P(A/b)-vjerovatnoca da ce A ostati u zatvoru pod uslovom da je barem jedan od B ili C pusten, tj da je cuvar rekao da ce jedan biti pusten.

P(b/A)=1-vjerovatnoca da ce barem jedan od B ili C izaci pod uslovom da A ostaje
P(b/B)=1/2-vjerovatnoca da ce u ovom slucaju ostati C kada je B pusten
P(b/C)=1/2-vjerovatnoca da ce u ovom slucaju ostati B kada je C pusten

math

Odgovor na temu

ridme
kllik bazilik
sa

Član broj: 143086
Poruke: 7
*.PPPoE-2552.sa.bih.net.ba.

Profil

Re: zadatak iz vjerovatnoce

^{24.04.2007. u 08:30 - pre 206 meseci}

a ovo rjesenje:

P(A/b)=[P(Ab)]/P(b)=[P(Aostaje)P(b/A)]/P(b)-vjerovatnoca da ce A ostati pod pretpostavkom da ce barem jedan od B ili C otici(jer je to pitanje zatvorenika)

P(b)=P(Bodlazi)P(Codlazi)+P(Bodlazi)(1-P(Codlazi))+P(Codlazi)(1-P(Bodlazi))=2/3*2/3+2/3*1/3+2/3*1/3=8/9-vjerovatnoca da barem jedan od B ili C ide
P(b/A)=1-vjerovatnoca da ce barem jedan od B ili C otici ako A ostaje

P(Aostaje)=1/3-vjerovatnoca da A ostaje prije nego sto cuvar eventualno da odgovor

Sada je

P(A/b)=3/8 sto mi je mozda i logicno jer je prije pitanja, sto se moze ekvivalentirati sa razmisljanjem A jer su dobili info da 2 idu a 1 ostaje, bila 1/3=0.33, a nakon ovoga vjeerovatnoca da ostane povecala na 3/8=0.375, jer ako mu kaze koji ide tada je rjesenje pod 1., tj. nema vise zavisnih dogadjaja ,a ovo vazi sve dok se iscekuje odgovor jer su tada zavisni, please da odgovorite sto prije jer mi treba hitno.

math

Odgovor na temu

ridme
kllik bazilik
sa

Član broj: 143086
Poruke: 7
*.PPPoE-2552.sa.bih.net.ba.

Profil

Re: zadatak iz vjerovatnoce

^{24.04.2007. u 10:36 - pre 206 meseci}

Moje konacno rjesenje je (valjda je tacno):

Neka je b dogadjaj da ce cuvar reci da ce biti pusten zatvorenik B.

Sada je vjerovatnoca da ce A ostati pod pretpostavkom da ce cuvar reci da je B pusten:

P(A/b)=[P(Ab)]/P(b)=[P(A)P(b/A)]/P(b)

Gdje je

P(b)=P(A)P(b/A)+P(B)P(b/B)+P(C)P(b/C)
P(A)=P(B)=P(C)=1/3
{vjerovatnoce da zatvorenici ostaju}

P(b/A)=1/2
{vjerovatnoca da ce cuvar reci da je B pusten uz predpostavku da A ostaje, jer moze reci i da ce biti pusten C, naravno kako A pita uvjek su u opticaju B i C}

P(b/B)=0
{vjerovatnoca da je cuvar rekao da B ide ako B ostaje}

P(b/C)=1
{vjerovatnoca da ce cuvar reci da B ide ako C ostaje}

Sada je nakon sto se vrjednosti uvrste vjerovatnoca

P(A/b)=1/3
Dakle cuvar nije u pravu.
Predpostavku na pocetku smo mogli napraviti jer se isto dobije ako predpostavimo da je cuvar rekao da ce biti pusten C.

math

Odgovor na temu

Daniel011
Beograd

Član broj: 76088
Poruke: 1101
*.dynamic.sbb.co.yu.

ICQ: 2336441

+3 Profil

Re: zadatak iz vjerovatnoce

^{24.04.2007. u 12:23 - pre 206 meseci}

Citat:

ridme: 2.

P(A/b)-vjerovatnoca da ce A ostati u zatvoru pod uslovom da je B pusten tj. da mu je cuvar rekao da ce biti pusten
e sad sta me malo buni

P(b/A)=1/2-ako A ostaje u zatvoru jednako je vjerovatno da ce cuvar reci da ostaje B ili C(a napravili smo predpostavku da je B pusten)
P(b/C)=1-ako C ostaje onda sigurno izlazi B
P(b/B)=0-kao B izlazi sigurno tako da je vjerovatnoca da ostane 0

Ovo je sve tačno, ne znam šta te tu buni?

Citat:

ridme: P(b)=P(Bodlazi)P(Codlazi)+P(Bodlazi)(1-P(Codlazi))+P(Codlazi)(1-P(Bodlazi))=2/3*2/3+2/3*1/3+2/3*1/3=8/9-vjerovatnoca da barem jedan od B ili C ide

Ovde praviš grešku, jer događaji da A odlazi, da B odlazi i da C odlazi nisu međusobno nezavisni, pa se ni njihove verovatnoće (kao ni verovatnoće preseka tih događaja) ne smeju ovako jednostavno sabirati.
Verovatnoća P(b) da će bar jedan od zatvorenika B ili C biti pušten je jednaka jedinici, jer po uslovu zadatka, u zatvoru ostaje samo jedan zatvorenik.

Tvoje rešenje koje si izložio kao poslednje, je sasvim tačno.

Odgovor na temu

ridme
kllik bazilik
sa

Član broj: 143086
Poruke: 7
*.PPPoE-3795.sa.bih.net.ba.

Profil

Re: zadatak iz vjerovatnoce

^{24.04.2007. u 15:57 - pre 206 meseci}

... e hvala ti puno, puno si mi pomogao, bunilo me je to sto se je napravila predpostavka da je B vec pusten, a po meni je ispravna da ce reci da ce B biti pusten, a vjerovatno se i misli na to, hvala u svakom slucaju.

math

Odgovor na temu

ridme
kllik bazilik
sa

Član broj: 143086
Poruke: 7
*.PPPoE-1343.sa.bih.net.ba.

Profil

Malo elegantnije rjesenje

^{26.04.2007. u 23:13 - pre 206 meseci}

Malo elegantnije rjesenje

Kada je zatvorenicima receno da ce 1 ostati i da ce 2 biti pustena vjerovatnoca svakog da ostane je 1/3 te svaki kada posmatra drugu dvojicu zna da ce jedan od njih biti pusten, te ukoliko pita cuvara koji ce biti pusten i ako mu ovaj i kaze on time ne dobiva novu informaciju (tj. zna isto ono sto je znao i prije nego je pitao) tako da mu vjerovatnoca ostaje ista i koja je bila prije pitanja, na koje je (eventualno) dobio odgovor tj. 1/3

math

Odgovor na temu

Not now, John!

Član broj: 231
Poruke: 1318
87.250.121.*

+4 Profil

Re: zadatak iz vjerovatnoce

^{26.04.2007. u 23:21 - pre 206 meseci}

Je li to varijacija na Monty Hall problem?

"I'd take the awe of understanding over the awe of ignorance any day."
- Douglas Adams

Odgovor na temu

Daniel011
Beograd

Član broj: 76088
Poruke: 1101
*.dynamic.sbb.co.yu.

ICQ: 2336441

+3 Profil

Re: zadatak iz vjerovatnoce

^{26.04.2007. u 23:24 - pre 206 meseci}

Citat:

ridme: Kada je zatvorenicima receno da ce 1 ostati i da ce 2 biti pustena vjerovatnoca svakog da ostane je 1/3 te svaki kada posmatra drugu dvojicu zna da ce jedan od njih biti pusten, te ukoliko pita cuvara koji ce biti pusten i ako mu ovaj i kaze on time ne dobiva novu informaciju (tj. zna isto ono sto je znao i prije nego je pitao) tako da mu vjerovatnoca ostaje ista i koja je bila prije pitanja, na koje je (eventualno) dobio odgovor tj. 1/3

To razmišljanje zatvorenika A je i navedeno u postavci zadatka.
A i logično je.
Nego čuvar k'o čuvar...

Odgovor na temu

Daniel011
Beograd

Član broj: 76088
Poruke: 1101
*.dynamic.sbb.co.yu.

ICQ: 2336441

+3 Profil

Re: zadatak iz vjerovatnoce

^{26.04.2007. u 23:44 - pre 206 meseci}

Citat:

Not now, John!: Je li to varijacija na Monty Hall problem?

Pa, slično je. Ista se logika koristi.
U jednom mom prethodnom postu u ovoj temi sam dao link na drugu temu u kojoj je bilo reči o tom problemu sa vratima (odnosno Monty Hall problemu).

Odgovor na temu