Šta je to matematika ?

Sad su vec neke stvari jasnije... Hvala drustvo, super ste!

Moj mlađi brat ima 10 godina. Danas sam mu rekao: "Hajde da mi odgovoriš na jedno pitanje. Ima neki nagradni kviz na Internetu samo za malu decu i jedno od pitanja je šta je to matematika. Ako tačno odgovoriš, možda dobiješ neke lepu nagradu. Dakle, skoncentriši se i reci mi najbolje što možeš: Šta je to matematika?"

Dobio sam (čak i za mene) zaprepašćujući odgovor. Malo je razmislio, zažmurio napola kao da se nečeg priseća i reč po reč rekao: MATEMATIKA JE ZNANJE I UČENJE ZA PAMET.

He, he.

Matematika je nepokoriva činjenica,barem u našem svemiru.

---

Alal ti vera ako razumeš šta si napisao.

---

The math is beach!!!

Jel si ti isfrustriran matematikom? Pre bi trebalo da budes isfrustriran engleskim. Mislim da iz toga imas manju ocenu

očito mu engleski ne leži jer kad onu rič napiše kako netriba,nek se on ipak uvati matematike

Matematika je nepresušni izvor ideja,

---

Matemtika je sveopsta. Sve moze da se predstavi matematicki (skoro sve). A mozda ipak BAS sve....

Matematika je logicko promisljanje svojstveno ljudima tj. matematika je odraz zakonitosti koje vladaju u nasem umu.
Ovim sam hteo da kazem da putem matematika mi ljudi,kakvim nas je priroda stvorila sa nasim fizickim i umnim osobinama,nasim dozivljajem sveta,nacinom na koji funkcionise nase telo,cula,um i medjudejstvu coveka i prirode lakse razumemo i resavamo probleme.

Ovo prethodno, da ne citiram, je interesantno, human touch. Evo šta je meni došlo, reagujući na Nedeljkovu definiciju:

(Savremena) Matematika je nauka u kojoj se rezultati prikazuju isključivo deduktivno.

Proces dolaženja do saznanja je, ako hoćemo baš iskreno, nepoznat. Samom dedukcijom nikad ne bi nastala matematika, jer dedukcija polazi od gotovih pravila. A kako kada ona ne postoje? Priznaćete da je očigledno da sva ta pravila nekada nisu postojala (ajd' da kažemo da ih nismo bili svesni), pa iz čega onda dedukcija? Osim ako odbacimo evoluciju matematike :)

Na primer:
1. Nešto je intuitivno jasno; zadatak matematičara je da to potrvrdi koristeći dedukciju u nekoj od postojećih teorija (digresija: šta ako nema odgovarajuće? može nastati nova...); ovaj zadatak je u rasponu od trivijalnog do izuzetno komplikovanog.
2. Nešto deduktivno izvodimo; da li postoji intuicija ili ne u vezi zaključka je za samu matematiku irelevantno; ali zaključak je bolje usvojen ako je i intuitivno jasan, ako ga prihvatamo kao da je naš; postoje mesta na kome intuicija nema šta da traži, ili može doći tek mnogo kasnije.

Ja lično sam zadovoljan samo ako imam i deduktivnu i intuitivnu stranu. Ova intuitivna nije obavezno induktivna, ali to već zalazi u proces spoznaje koji za sada nije objašnjen, a možda i ne može biti. Sve u svemu, bio bih oprezniji u vezi "deduktivnosti" matematike. Samo postojanje mnoštva grana matematike pokazuje da se ona teško može na jedinstven način opisati. Takođe se shvatanja o pojmovima koje ona obrađuje značajno razlikuju, pa čak i validnost nekih tipova zaključivanja.

Matematika je verovatno nastala iz potrebe za nekom vrstom računa. Cenim da je proteklo mnogo vremena dok nije uočeno da se neki računi mogu podvesti pod isto i to je samo korak do apstraktnog računa. Ali danas i račun može značiti mnogo šta, npr. nalaženje primitivne funkcije, određivanje fundamentalne grupe ili utvrđivanje egzistencije rešenja. Ono što izdvaja matematiku od ostalih nauka je to što ne polazi od stvari iz našeg okruženja već od pojmova koje su proistekli iz mnogih apstrakcija i traganja za univerzalnim pravilima. I kao da postoji stara i nova matematika: prvo je bilo nagomilavanje pravila, odnosa, rešenja, a mnogo kasnije rekapitulacija i sređivanje.

Dedukcija nije metod prikazivanja, već dokazivanja (zaključivanja) koji se definiše kao onaj koji "ne može da omaši", to jest kod kojeg je izvedeni zaključak nužna posledica navedenih pretpostavki. Ne mora biti zasnovana na formalnim pravilima, a i o tim formalnim pravilima govori nezavisno od toga da li postoje bića koja ih znaju. To nije potrebno ni za kakvu diskusiju o njima.

Kad god se dese i A i B, onda se sigurno desi i A. Štaviše to je tačno bez obzira na našu svest o tome. Možda će neko reći da se time u suštini ništa ne tvrdi, to jest da je to svakako uvek tačno, ili da je posredi samo jezička zavrzlama, ali to je u suštini slučaj sa svim deduktivnim zaključivanjima. Problem je u tome što kod nekih deduktivnih zeključivanja nije lako utvrditi da su deduktivna. E, to je posao matematike.

Matematika se bavi dokazivanjem da su određena zaključivanja deduktivna. Jasno, to se ne može dokazivati "labavijim" metodama od deduktivnih, to jest samo je deduktivan metod dovoljno pouzdan za dokazivanje da je neko tvrđenje deduktivno.

No, ako je neko tvrđenje deduktivno, mi ga možemo dedukovati pozivanjem ne njega samog. To je trivijalan dokaz koji se sastoji od samo jednog koraka. Zaista, svaki korak tog dokaza je deduktivan, to jest dokaz ima deduktivnu snagu. Međutim, tu se odmah postavlja pitanje odakle mi znamo da je on zaista takav. Za to nem je bilo neophodno da znamo da je tvrđenje dato na početku deduktivno, a ako to znamo, onda nam dokaz njegove deduktivnosti nije bio ni potreban, tako da iako je formalno korektan, gubi svaki smisao.

Dakle, kada dokazujemo da je neko tvrđenje deduktivno, u dokazu koristimo neka druga deduktivna zaključivanja za koja već znamo da su deduktivna. Ali, pošto se to mora negde i završiti, neka tvrđenja neće biti dedukovana iz drugih, već prihvaćena bez dokaza kao "očigledna". No, o očiglednosti, kao i o aksiomatskoj metodi sam pisao ranije na ovom forumu.

Kada dva čoveka diskutuju o nečemu, da bi rasprava imala bilo kakvog smisla, moraju poći od stavova oko kojih se slažu, i na tim temeljima graditi diskusiju o onome o čemu se ne slažu. Ukoliko nekome nešto obrazlažete koristeći u argumentaciji stavove koje on ne prihvata, onda za takvog sagovornika ni takva argumentacija nije prihvatljiva. Zato se u dokazivanju, kod neaksiomatskog pristupa zaustavlja na što jednostavnijim stavovima (koji su što većem broju ljudi prihvatljivi), a kod aksiomatskog pristupa se za aksiome bira što manji broj što jednostavnijih tvrđenja.

Ja ne mogu da tvrdim da ne postoje i druge inteligentne vrste (zemaljskog ili vanzemaljskog porekla), koje nemaju svoju matematiku. Deduktivne zakonitosti su univerzalne, i u tom smislu postoji samo jedna matematika, koja je nama samo delimično poznata i koju doživljavamo i izlažemo na nama svojstven način, i ti je jedino po čemu se mogu razlikovati naša i njihova matematika. Druga inteligentna bića mogu znati druge delove matematike od nas i to svoje znanje mogu doživljavati i izlagati na njima svojstven način.

Kriterijum zaustavljanja u procesu dokazivanja kod neaksiomatskog pristupa, kao i kriterijum biranja aksioma je odraz našeg uma i naše intuicije. Inače, vrlo jaka intuicija je bila neophodna za dokazivanje bilo koje dobre matematičke teoreme. Kod automatskog dokazivanja teorema računari u suštini samo rešavaju neke kombinatorne probleme na koje su prethodno svedeni problemi iz neke klase matematičkih problema, a za to svođenje je bila neophodna jaka intuicija. Do doga su došli ljudi. To nisu mogli da urade računari.

Ovo sve što pišem važi samo za savremenu matematiku. Takođe, je ne mogu predvideti šta će matematika bidi za 200 godina. Naravno, da matematika nije bila uvek ovakva i da je postojao proces njenog razvoja koji se stiglo do ovog njenog oblika. To je proces usavršavanja našeg shvatanja matematike koji nije završen. Istinu govoreći, konačan odgovor na pitanje iz naziva teme ne postoji. Ovo sve se odnosi samo na trenutnu sliku matematike.

Matematika najverovatnije jeste nastala najre iz neke potrebe za računom, ali pošto se naše shvatanje matematike razvija, ona nije ostala samo na računu, čak i kada se on shvati u mnogo opštijoj formi. Nekada smo prevazišli okvire računa, koje smo takođe prethodno proširili, ali još uvek nismo prešli granice dedukcije, tako da ti okviri karakterišu današnju matematiku. Proces razvoja bilo koje nauke je praćen stalnim otkrivanjem novih zakonitosti i kasnijim uopštavanjem i objedinjavanjem istih. To nije karakteristično samo za matematiku.

---

Sve je to ok, slažem se. Ali ja sam mislio na sam taj proces dolaženja do zaključaka. Možda ja malo slobodnije koristim neke izraze, ali sam spreman da obrazložim takvo viđenje.

U bilo kakvoj teorijskoj nauci malo je nezahvalno reći kakve se metoda koriste, jer se većina procesa dešava u mozgu koji je teško opisati. Dakle, ja stavljam naglasak na činjenicu da jedino u šta smo sigurni u matematici, jeste to da zahtevamo dokaz za rezultat koji smo dobili, u smislu da ga možemo deuktivno izvesti u okviru neke postojeće teorije. I na to sam mislio kada sam rekao da se rezultati prikazuju deduktivno.

Razlog što to činimo tako jeste sve ono što si napisao u prethodnom post-u, ali ja se ograničavam da kažem da je metod dolaženja do zaključaka deduktivan u onom "radnom" smislu. Zapravo, čini se da se osvrnemo na dedukciju samo kada želimo da proverimo intuiciju; ili kada se zagubimo, ili želimo da proverimo da nismo previše odlutali.

Možemo da napravimo i malu anketu:
eto ja kažem za sebe da kada rešavam zadatak jako retko koristim dedukciju, već pre pokušavam da "osetim" problem i rešenje. Kada imam dovoljno ubeđenje da sam u pravu, pokušavam da izvedem dokaz. Usput možda ulepšam stvar ili dve, i na kraju se potrudim da sve zapišem precizno i u duhu onoga što sam prihvatio kao stil, za vreme studiranja.

Da li neko odmah reši zadatak koristeći čistu dedukciju? Blago njemu, jer to znači da ne mora da se zamara prevođenjem intuicije. Ne kažem da je nemoguće, ali meni se to dešava zanemarljivo malo puta.

Matematika je nauka nastala uočavanjem nekih zakonitosti u
u prirodi,a nakon toga se usavršava izučavanjem same sebe.

---

A koje to neteorijske nauke postoje?



Postoji podela metoda dolaženja do saznanja (napravljena je u filosofiji), i zna se gde je tu mesto metodama zaključivanja koje se koriste u matematici. Mislim da mešaš deduktivan metod sa aksiomatskim metodom. Osim one definicije dedukcije koju sam više puta naveo postoji još jedna njoj ekvivalentna. Deduktivan je onaj metod zaključivanja koji je valjan pri svim mogućim interpretacijama pojmova koji u njemu učestvuju. Jasno je da je neka argumentacija u matematici opravdana ako i samo ako ima deduktivnu snagu.

Dakle, matematički dokaz je neki niz zaključivanja, pri čemu je svaki korak deduktivan. To je dokaz koji je u matematici jedino prihvatljiv. Druga je stvar kako se dolazi do njega. Da bi se došlo do rešenja ozbiljnog matematičkog problema, potrebna je vrlo jaka intuicija. Mislim da sam to više puta naglasio. No, intuicija nam pomaže da dođemo do dokaza teoreme, ali je sam dokaz rešenje problema.



Da, s tim što priroda danas nije predmet proučavanja matematike već fizike. Ipak, nekada se počelo porvo sa brojanjem, pa sa merenjem površina i zapremina itd. Danas matematika traži zaključivanja koja su deduktivna deduktivnim sredstvima.

---

Pa nije valjda da misliš da su sve nauke teorijske? Interesantno stanovište, priznajem, ali meni se čini ipak da postoje one koje baziraju svoje rezultate na eksperimentima ili prostim opažanjem prirode i društva i one koje to ne čine...


Pa o tome i pričam. Kako dolazimo do saznanja u matematici je valjda njena metoda dolaženja do saznanja.


To baš rekoh: mi dolazimo do rešenja na bog te pita koji način, ali zapisujemo rešenje u obliku dokaza, koji mora da zadovolji deduktivnost. To je jedino mesto, i nije dovoljan razlog da matematičku metodu nazovemo deduktivnom, jer je to samo prezentacija rezultata.

Da, mislim. Eksperimentalne nauke pokušavaju da objasne pojave koje spadaju u predmet njihovog izučavanja, to jest da ponude teorijske okvire za te pojave, pri čemu se od teorija zahteva da se uklope u sve dotadašnje eksperimente i da ih objasne. Od teorija koje sa podjednakom tačnošću opisuju ishode do tada izvršenih eksperimenata boljom se smatra ona koja je jednostavnija.

---

smartam da su teske matematicke operacije potpuno nepotrebne
Buduci da je i AJNSTAJN imao 1 iz matematike a danas je poznat kao najfascinantniji fizicar svih vremena

---

Ne znam koja je jedinica usvojena za merenje težine matematičkih operacija, ali sve su uvođene sa nekom motivacijom. Inače, u Nemačkoj je manja ocena bolja od veće (1 je najbolja).

---

Ovo ti je sad malo konfuzno: u objašnjenju da je nauka teorijska, ti je nazivaš ekperimentalnom. Jasno je da svaka nauka pokušava da ustanovi neke zakonitosti, ali ako je njen izvor, pa i dokaz, posmatranje okoline, onda se istim pravom može nazvati i eksperimentalnom, kao što si i ti to učinio. Dakle, eventualno možemo reći da svaka nauka sadrži i teorijski deo. Ali ako joj dajemo jedan pridev, onda je to onaj koji je isključivo ili u većem delu karakteriše.

U tom smislu je jasno na šta se misli kad se kaže da je neka nauka teorijska. Ako hoćeš preciznije, matematika je isključivo teorijska nauka, jer niti dobija saznanja iz posmatranja niti ih proverava na takav način. Kontradiktorno, s' druge strane, izuzetno je praktična i možda najviše upotrebljena. Upravo iz tog razloga što se bavi računom. Nije ni čudo da su se do skora svi koji su doprinosili matematici uglavnom bavili još nekom naukom, iz koje su crpeli inspiraciju, zapravo nailazili na pitanja računa koji još nije bio rešen.

Dakle, matematici je okolina inspiracija, ali ne polazna osnova. Da nismo izučavali sam račun, matematika bi ostala na skupu pravila za računanje. Ali upotrebna svrha je ostala ista. Naravno, u poslednje vreme bavi se nečim što je daleko prevazišlo tu svrhu (mada račun ostaje kao važan deo svake teroije). I tu ima izuzetno interesantnih zaključaka, nekada iznenađujućih, kontra-intuitivnih. Ali zalazeći tako daleko u apstrakciju, ne mislim da saznajemo više o ustrojstvu prirode, već pre o sebi samima ili, još banalnije, o našem računu! Veću šansu imaju oni delovi matematike koji se bave nečim konkretnim.

U dedukciji je značaj na pronalaženju tih opštih pravila iz kojih ćemo kasnije ići ka pojedinačnom. Inače dedukcija vodi umrtvljavanju. Osim ako ne nađemo nešto toliko univerzalno i istovemeno kreaciono što će roditi sve ostalo. (Vernici bi rekli da je to Bog, a fizičari tragaju za svojom ujedinujućom teorijom.)
A kako dolazimo do tih opštih pravila je već drugo pitanje. Tu ima i redukcije i apstrakcije i ko zna šta sve ne.

Još jednom, ono što želim da istaknem je to da matematika, kalkulišući sa samim apstrakcijama, bitiše uglavnom u mozgu i zato je teško reći kako to sve zajedno funkcioniše.

P.S. Kako si ostao tako miran na očiglednu provokaciju? Svaka čast :)