Ja znam jedan malo drugaciji dokaz koji se u sustini svodi na isto, samo sto se koristi Zornova lema:
Ako je
parcijalno uredjen skup i ako svaki lanac (skup elemenata tako da su svaka dva uporediva) ima gornju granicu, onda
ima maksimalni element.
Uocis sve
koji su linearno nezavisni. Skup svih takvih podskupova (
sa relacijom
cini parcijalno uredjen skup, a ako je
lanac, njegova gornja granica je
. Da bi to dokazali, dovoljno je da dokazemo da je
.
Zaista, ako su
,
onda postoje skupovi
tako da je
. Posto je
lanac, to su svaka dva skupa
uporediva (tj ili je
ili obrnuto), pa medju njima postoji najveci (tj onaj tako da su svi ostali njegovi podskupovi). Neka je to
. Prema tome
pa su
linearno nezavisni. Dalje sledi da je,
linearno nezavisan odnosno
. Na osnovu Zornove leme sad sledi da postoji maksimalni element
u
, i on je maksimalan linearno nezavisan skup (tj kad mu dodas bilo koji vektor prestaje da bude linearno nezavisan). Na osnovu trivijalne posledice da je max. lin. nez. sistem ujedno i minimalni potpun sledi da je
baza.
Posledica se dokazuje tako sto pretpostavis da je
nepotpun, tj da postoji
koji ne moze da se izrazi kao lin. kombinacija vektora iz
, onda uocis
i za njega dokazes da je lin. nez. a to je kontradikcija jer je
max. lin. nez.
Nadam se da sam ti pomog'o, tj da te nisam jos vise zbunio :). Inace, mnogim mojim kolegama sa faxa ova teorema je bila veliki problem, a verujem da ju je malo njih uopste skontalo :), nego su isli na onu varijantu a valjda nece da mi se padne ili profesor to retko pita :)!
ps. Ovaj dokaz je iz knjige Lj. Kocinac: Linearna algebra i analiticka geometrija
DeXteR[ity]!!!!
Zermelov princip dobrog uredjenja i dokaz da svaki vektorski prostor ima bazu
tada je baza 
.
tada koristimo Zermelov princip dobrog uredjenja na osnovu koga se skup (nosač vektorskog prostora) predstavlja u obliku koji je izomorfan nekom ordinalu 
, tj. 
, pa dalje kaže:
:
granični : 
.Tvrdimo da je 
baza.
, tada je 
za neko 
, što znači da je 
linearna kombinacija vektora iz 
pa time i 
, što znači da je 
linearna kombinacija vektora iz 
. Neka je 
i neka je 
.
pa po konstrukciji 
, što je kontradikcija.
