[es] - Funkcionalna jednačina

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
195.222.97.*

+2790 Profil

^{25.01.2009. u 12:59 - pre 185 meseci}

Data je funkcionalna jednačina f(x²+f(y))=y+(f(x))² nad skupom realnih brojeva. Stavljajući da je x=0 lako se zaključuje da je f bijekcija R na R. Da bih dokazao da je f(x)=x za svako x, dovoljno mi je da znam da f ima barem jednu fiksnu tačku y, jer se stavljajući da je x=0 dobija da je f(0)=0. Zatim se pokazuje da je f neopadajuće preslikavanje. Zaista, neka je a<b. Tada postoje x,y takvi da je 0²+f(y)=a, x²+f(y)=b, pa je f(b)=f(a)+(f(x))², odakle je f zaista neopadajuće. Pošto je f 1-1, zaključujemo da f raste. Iz f(f(y)=f(0²+f(y))=y+(f(0))²=y, pa se iz uslova da je f rastuće i f(f(y))=y lako zaključuje da je f(y)=y za svako y.

Dakle, jedino mi treba dokaz da f ima bar jednu fiksnu tačku da bih kompletirao zadatak.

Eto, napisao sam dokle sam stigao, da mi Bojan ne bi obrisao pitanje.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
195.222.97.*

+2790 Profil

Re: Funkcionalna jednačina

^{25.01.2009. u 13:38 - pre 185 meseci}

Rešio sam zadatak. Koristićemo jednakost f(f(y))=y+(f(0))².

f(x²+f(f(y)))=f(y)+(f(x))²

f(x²+y+(f(0))²)=f(y)+(f(x))²

f(f(x²+y+(f(0))²))=f((f(x))²+f(y))

x²+y+2(f(0))²=y+(f(f(x)))²

x²+2(f(0))²=(x+(f(0))²)²

x²+2(f(0))²=x²+2x(f(0))²+(f(0))⁴

Za x=1 se dobija f(0)=0.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu