[es] - Kako naci rjesenja ovih triju jednadžbi s tri nepoznanice?

Kreso-zg

Član broj: 29033
Poruke: 24
*.cmu.carnet.hr

Profil

Kako naci rjesenja ovih triju jednadžbi s tri nepoznanice?

^{05.07.2004. u 21:36 - pre 241 meseci}

Imam tri jednadžbe s tri nepoznanice i trebam izracunat svaku nepoznanicu. Pokusavao sam sve ali ne mogu naci nista sto bi mi pomoglo da dobijem rjesenje. Da vas sad vidim, Matematicari:

a+b+c=A

ab+ac+bc=B

abc=C

Ukoliko su A,B i C neki brojevi koji su nam poznati kako izracunati a,b ic?

Eliminisana preterana interpunkcija.

[Ovu poruku je menjao Vanja Petreski dana 06.07.2004. u 15:51 GMT]

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dial.InfoSky.Net

+2790 Profil

Re: Kako naci rjesenja ovih triju jednadžbi s tri nepoznanice???????????????????

^{05.07.2004. u 22:38 - pre 241 meseci}

Prvo, ako je a=u, b=v, c=w jedno od rešenja, onda je zbog simetričnosti uslova i a=w, b=v, c=u takođe rešenje. Zapravo, bilo koja permutacija rešenja je rešenje. Stoga možeš odrediti samo skup {a,b,c}, kao i broj ponavljanja svakog broja u rešenju. Recimo, ako je jedno od rešenja a=1, b=2, c=2, onda rešenje ne može biti i a=1, b=1, c=2 jer se u prvom slučaju jedinica pojavljuje samo jedanput, a u drugom dvaput.

No, ako izračunaš proizvod

(x-a)(x-b)(x-c)

videćeš da su zapravo a,b,c nule polinoma

To su zapravo čuvene Vijetove formule.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Kreso-zg

Član broj: 29033
Poruke: 24
*.cmu.carnet.hr

Profil

Re: Kako naci rjesenja ovih triju jednadžbi s tri nepoznanice???????????????????

^{06.07.2004. u 12:17 - pre 241 meseci}

Ja sam zapravo trazio neku konstantnu formulu za rjesavanje kubne jednadžbe i dosao sam do ovoga problema. Da li mozda postoji neka takva formula iz koje iz oblika x^3+Ax^2+Bx+C=0 mozemo uvrstiti A,B i C i dobiti rjesenje????

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dial.InfoSky.Net

+2790 Profil

Re: Kako naci rjesenja ovih triju jednadžbi s tri nepoznanice?

^{06.07.2004. u 22:29 - pre 241 meseci}

Prvo, smenom

se dobija jednačina oblika

Naravno, interesantan je samo slučaj kada je

Ako je

bilo koje od rešenja, u skupu kompleksnih brojeva će svakako postojati brojevi

takvi da važi

Za takve

će važiti

što direktno sledi iz prethodne jednačine po

Znači, treba naći takve kompleksne brojeve

da važi

Odmah se vidi da zbog

važi

No, korenovanjem ove jednačine dobijamo da je

Koji ćemo znak na početku ovog izraza izabrati sasvim je svejedno. U stvari, mi ionako radimo u kompleksnom području. Kubnim korenovanjem dobićemo tri moguće vrednosti za

Kada ih izračunamo, svako od rešenja za

će nam dati po tačno jedno rešenje za

po formuli

budući da zbog

mora biti i

Najzad, po formuli

dobijamo tri rešenja po

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu