Pretpostavimo suprotno, da funkcija
nije polinomska, ali da važi
.
1 .
je neprekidno.
Dokaz: Neprekidno je kao diferencijabilno jer postoji
.
2. Oznaka:
.
3. Skup
svih tačaka koje imaju okolinu na kojoj je funkcija
polinomijalna je otvoren i svuda gust i na njemu je funkcija lokalno polinomijalna.
Dokaz: Netrivijalno je dokazati da je skup
svuda gust. Obzirom da je
i da su skupovi
otvoreni, po Berovoj teoremi za svaki pravi interval
postoji
takvo da
nije gust u
, odnosno postoji pravi interval
takav da je
. No, to znači da je
polinomijalna na intervalu
. Za ma koje
važi
.
4. Oznaka:
je niz disjunktnih otvorenih intervala čija je unija skup
.
5. Oznaka:
- skup tačaka koje imaju okolinu u kojoj je funkcija polinomijalna stepena manjeg od
,
6. Oznaka:
,
7. Oznaka:
.
8. Skup
je zatvoren,
Dokaz: Na osnovu 1.
9.
.
10. Ako je funkcija na pravom intervalu polinomijalna, taj polinom je jednoznačno određen.
Dokaz: Polinom je jednoznačno određen vrednostima u bilo kojih beskonačno mnogo tačaka.
11. Neka je
bilo koji pravi otvoreni interval na kome je funkcija
lokalno polinomijalna. Ona je na njemu polinomijalna.
Dokaz: Za ma koji kompaktan interval
ma koja tačka
ima okolinu u kojoj je funkcija
polinomijalna. Takve okoline čine otvoreni pokrivač kompaktnog skupa
. Iz njega možemo izdvojiti konačan potpokrivač. Obzirom da je na svakom elementu konačnog potpokrivača funkcija
polinomijalna, možemo uočiti prirodan broj
koji je veći od stepena svih tih konačno mnogo polinoma, pa na kompaktu
važi
, pa je na unutrašnjosti intervala
funkcija
polinomijalna. Neka je
rastući niz kompaktnih podintervala od
takvih da je unija njihovih unutrašnjosti interval
. Funkcija
je polinomijalna na svakom od njih, a prema 10 su svi ti polinomi jednoznačno određeni vrednošću funkcije na
, pa se radi o jednom polinomu. Stoga je funkcija
polinomijalna na celom intervalu
.
12. Funkcija
je polinomijalna na svakom od intervala
.
Dokaz: Na osnovu 11.
13. Izvodi funkcije
bilo kog reda na bilo kom kraju intervala
jednaki su odgovarajućim izvodima na tom kraju intervala
polinoma kome je funkcija
jednaka na intervalu
.
Dokaz: Na osnovu 1.
14. Tejlorov razvoj funkcije u okolini bilo kog od krajeva intervala
je konačan i jednak funkciji
na intervalu
.
Dokaz: Sledi iz 13 i osobina polinoma.
15: Ako je funkcija
polinomijalna na dva intervala koji imaju jedan zajednički kraj, onda je polinomijalna i na uniji zatvorenja tih intervala. Opštije, ako je funkcija
lokalno polinomijalna na nekom intervalu bez nekog diskretnog skupa tačaka, onda je polinomijalna na zatvorenju tog intervala. Stoga intervala
ima beskonačno mnogo.
Dokaz: Sledi iz 14.
16: Svaki od krajeva intervala
pripada skupu
.
Dokaz: U suprotnom postoji okolina
tog kraja u kojoj je funkcija
polinomijalna, pa je
za neko
. No, u tom slučaju je
suprotno izboru tih intervala.
17: Skup
nema izolovanih tačaka.
Dokaz: Ako je
izolovana tačka skupa
, postoji
takvo da je
. Obzirom da je funkcija
lokalno polinomijalna na
ona je prema 15 polinomijana na
, što protivreči izboru tačke
.
18: Neka je
otvoren skup takav da je
i neka je prirodan broj
. Postoji tačka
takva da je
.
Dokaz: U skupu
možemo izabrati neki od intervala
na kome se
ne anulira. U suprotnom, pošto je na osnovu 3 skup
svuda gust, na osnovu neprekidnosti
je
na celom skupu
, što je u suprotnosti sa
. Za tako izabrani
neka je
stepen polinoma kome je funkcija
jednaka na intervalu
. Obzirom da se
ne anulira na tom intervalu, važi
. Obzirom da je
, interval
se ne svodi na
, pa mu barem jedan od krajeva pripada skupu
. Obeležimo ga sa
. Ukoliko je
tvrđenje je dokazano (jer
na osnovu 16). Pretpostavimo zato da je
. Svakako je
. Neka je
najmanji broj iz skupa
takav da je
. Izaberimo okolinu
tačke
takvu da je
. To je moguće na osnovu 1. Obzirom da je za
za neko
, važi
za sve
. Obzirom na 17 i
, tvrđenje sledi.
19:
.
Dokaz: Pretpostavimo da je
. Prema 18, obzirom da je
, možemo izabrati tačku
skupa
za koju je
i na osnovu neprekidnosti
kompaktnu okolinu
takvu da
. Obzirom da je
u okolini
možemo izabrati unutrašnju tačku
takvu da je
i na osnovu neprekidnosti
kompaktnu okolinu
takvu da
. Nastavljajući ovaj postupak, konstruišemo opadajući niz
kompakata takav da
. Za
je
za sve
suprotno pretpostavci zadatka.
20.
je lokalno polinomijalna na
.
Dokaz: Na osnovu 19 je
.
21.
je polinomijalna na
suprotno pretpostavci.
Dokaz: Na osnovu 11 i 20.
[Ovu poruku je menjao Nedeljko dana 09.06.2013. u 01:06 GMT+1]
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.