[es] - Kako ovo Dokazati

edisnp

Član broj: 269233
Poruke: 478
*.adsl.eunet.rs.

+27 Profil

^{24.12.2010. u 21:01 - pre 162 meseci}

Zadatak je sledeci Neka je n ∈ N. Dokazati da je broj n(n − 3)(n^2- 3n + 14) deljiv sa 8.
kad se ovo izmnozi dobije se n^4-6n^3+23n^2-42n kako dalje da nastavim

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Odgovor na temu

Janinka
student

Član broj: 220517
Poruke: 76
77.28.134.*

+1 Profil

Re: Kako ovo Dokazati

^{24.12.2010. u 21:14 - pre 162 meseci}

Da pokusas pomocu matematicke indukcije?

Odgovor na temu

Fermion
ucenik

Član broj: 273771
Poruke: 237
*.mbb.telenor.rs.

+13 Profil

Re: Kako ovo Dokazati

^{24.12.2010. u 21:30 - pre 162 meseci}

Može ovo jednostavno da se reši bez tolikog množenja i matematičke indukcije.

Primetimo da je polazni izraz ekvialentan sa:

Uvedimo smenu:

Izraz postaje

Pošto su brojevi n i n-3 različite parnosti, njihov proizvod je paran broj, pa je x parno.

Ako je x deljivo sa 4 broj x+14 je takođe paran, a proizvod ta dva broja je deljiv sa 8.

Ako x nije deljivo sa 4 broj x+14 mora biti deljiv sa četiri

(jer bar jedan od dva uzastopna parna broja mora biti deljiv sa 4).

Prema tome i x i x+14 su parni brojevi za svako n iz skupa prirodnih brojeva, i jedan od ta dva je deljiv sa 4. Prema tome njihov proizvod je deljiv sa 8, čime je tvrđenje dokazano.

Odgovor na temu

Fermion
ucenik

Član broj: 273771
Poruke: 237
*.mbb.telenor.rs.

+13 Profil

Re: Kako ovo Dokazati

^{24.12.2010. u 21:48 - pre 162 meseci}

Evo još jednog rešenja.

Neka je n paran broj. Tada ga možemo pisati u obliku n=2k, gde je k prirodan broj.

Ako to stavimo u polazni izraz:

Ako je k parno ovo je jasno deljivo sa 8. Ako je k neparno onda je

parno, pa je i u ovom slučaju polazni izraz deljiv sa 8.

Neka je n neparan broj. Tada ga možemo pisati u obliku n=2k+1.

Ako se to stavi u polazni izraz:

Ako je k parno onda je

parno, čime je dokazano da je polazni oblik deljiv sa 8.

Ako je k neparno onda je k-1 parno, pa je i u ovom slučaju polazni oblik deljiv sa 8.

Prema tome za svaki prirodan broj n važi da je

deljivo sa 8.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
212.200.65.*

+2790 Profil

Re: Kako ovo Dokazati

^{24.12.2010. u 22:08 - pre 162 meseci}

Sjajno rešenje. Ipak, uvek treba znati standardna rešenja, kao što je induktivno.

Dakle, za

se lako proverava da je

, što je deljivo sa

. Dalje je

. Ako dokažemo da je

deljivo sa

, onda tvrđenje sledi indukcijom.

Deljivost

dokazujemo istom metodologijom.

. Dovoljno je dokazati da je

deljivo sa

.

Konačno, indukcijom dobijamo da je to ispunjeno zbog

.

Ovakva metodologija pali uvek. Iz ovog dokaza sledi čak i deljivost sa 24.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Fermion
ucenik

Član broj: 273771
Poruke: 237
*.mbb.telenor.rs.

+13 Profil

Re: Kako ovo Dokazati

^{24.12.2010. u 22:53 - pre 162 meseci}

Deljivost sa 24 bi se mogla dokazati i nekim od gornjih rešenja, ako se dodatno dokaže deljivost sa 3.

Primetimo da je jedan od brojeva n, n-1 i n+1 deljiv sa 3.

Ako je n deljivo sa 3 tvrđenje je očigledno.

Ako je n-1 deljivo sa 3:

Preostaje da se ispita slučaj kada je n+1 deljivo sa 3:

Prema tome za svaki prirodan broj n važi da je

deljivo sa 24.

Odgovor na temu

petarm
Petar Mali
Zrenjanin

Član broj: 20220
Poruke: 1879
*.dynamic.sbb.rs.

+33 Profil

Re: Kako ovo Dokazati

^{24.12.2010. u 23:18 - pre 162 meseci}

Htegoh samo edisnp-u da skrenem paznju na jednu stvar. Uvek se trudi kod ovakvih zadataka da rastavis neki polinom na cinioce, a ne kada dobijes rastavljen da mnozis. Ili npr. neki proizvod + neki broj koji deli to sto trebas da proveris.

Dakle ako hoces da dokazes da je broj

deljiv sa 30, rastavi ovo na proizvod prostih cinilaca

pa ispituj. Ovaj drugi slucaj mi je teze da iskonstruisem. Al ideja je ova hoces da dokazes da je neki

deljiv sa 33. Onda ovo mozda mozes da zapises npr. kao

:D

i da dokazes da je

deljiv sa

. A dokaz za

bi mogao sam da izvedes pa i napises ovde zasto da ne!

_{[Ovu poruku je menjao petarm dana 25.12.2010. u 01:33 GMT+1]}

http://www.svijetfizike.com/

Odgovor na temu

edisnp

Član broj: 269233
Poruke: 478
*.adsl.eunet.rs.

+27 Profil

Re: Kako ovo Dokazati

^{25.12.2010. u 00:50 - pre 162 meseci}

Mislim da je ovako n^5-n mozemo da napisemo
kao:n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n+1)(n-1) dalje matematickom indukcijom
za n=1 dobije se 0 sto je deljivo sa 30, za n=k dobijamo pretpostavku
k(k-1)(k+1)(k-2)(k+2)+5k(k+1)(k-1) za n=k+1 se dobija (k+1)(k)(k+2)(k^2+2k+2).
5k(k+1)(k-1) je deljivo sa 5 i 10 zbog cinioca 5 posto je deljivo sa 10 onda je i sa 30
ne znam koliko sam blizu pokusao sam matematickom indukcijom da dodjem do nekog resenja.

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Odgovor na temu

Fermion
ucenik

Član broj: 273771
Poruke: 237
*.mbb.telenor.rs.

+13 Profil

Re: Kako ovo Dokazati

^{25.12.2010. u 07:51 - pre 162 meseci}

S obzirom da je:

Pošto su n-2, n-1, n, n+1 i n+2 uzastopni prirodni brojevi bar jedan od njih je deljiv sa 5. Proizvod

je proizvod tri uzastopna broja, od kojih je jedan deljiv sa tri i bar jedan deljiv sa 2, pa je pomenuti proizvod deljiv sa 6. Pošto je

sledi da je

deljivo sa 30.

Drugi sabirak je deljiv sa 6, jer je

deljivo sa 6, a zbog koeficijenta 5 ceo ovaj deo deljiv sa 30.

Odavde sledi da je

deljivo za svako n, gde

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
212.200.65.*

+2790 Profil

Re: Kako ovo Dokazati

^{25.12.2010. u 08:09 - pre 162 meseci}

Pa, već sam ti dao opšti postupak koji uvek pali.

. Da bismo indukcijom dokazali da je

deljivo sa

, treba dokazati da je

deljivo sa

i da je

deljivo sa

.

Da bismo indukcijom dokazali da je

deljivo sa

, treba dokazati da je

deljivo sa

i da je

deljivo sa

.

Da bismo indukcijom dokazali da je

deljivo sa

, treba dokazati da je

deljivo sa

i da je

deljivo sa

.

Kraj.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Fermion
ucenik

Član broj: 273771
Poruke: 237
*.mbb.telenor.rs.

+13 Profil

Re: Kako ovo Dokazati

^{25.12.2010. u 08:36 - pre 162 meseci}

Evo i rešenja sa matematičkom indukcjom:
1)Za n=1 je

, što je deljivo sa 30.

2)Pretpostavimo da je za n=k ispunjen uslov zadatka:

je deljivo sa 30

3) Treba dokazati da je za

važi da je

deljivo sa 30.

Ako je

deljivo sa 30, onda je i:

deljivo sa 30.

Ovo je ekvivalentno sa uslovom da je

deljivo sa 30.

Pošto je:

.

Pošto je proizvod

deljiv sa 6, sledi da je prvi sabirak deljiv sa 30, dok za drugi to jasno važi pošto jedan od brojeva k i k+1 mora biti paran.

Time je pokazano da je za svako n

važi da je 30 delilac

Odgovor na temu

Fermion
ucenik

Član broj: 273771
Poruke: 237
*.mbb.telenor.rs.

+13 Profil

Re: Kako ovo Dokazati

^{25.12.2010. u 08:47 - pre 162 meseci}

@Nedeljko

Dadoh nešto drugačije rešenje matematičkom indukcijom.

Moram priznati da je vaš postupak sa matematičkom indukcijom opštiji, pa zato i praktičniji. Ipak ja težim ovakve zadatke da rešavam bez pozivanja na nju, jer teorija brojeva nudi mnogo drugih načina pored ovog da se na originalan način reši zadatak. Ali ako ne možemo pronaći drugo rešenje svakako je najbolje koristiti matematičku indukciju. Bar ja tako mislim.

Odgovor na temu

petarm
Petar Mali
Zrenjanin

Član broj: 20220
Poruke: 1879
*.dynamic.sbb.rs.

+33 Profil

Re: Kako ovo Dokazati

^{25.12.2010. u 09:27 - pre 162 meseci}

Citat:

Fermion: S obzirom da je:

Pošto su n-2, n-1, n, n+1 i n+2 uzastopni prirodni brojevi bar jedan od njih je deljiv sa 5. Proizvod

je proizvod tri uzastopna broja, od kojih je jedan deljiv sa tri i bar jedan deljiv sa 2, pa je pomenuti proizvod deljiv sa 6. Pošto je

sledi da je

deljivo sa 30.

Drugi sabirak je deljiv sa 6, jer je

deljivo sa 6, a zbog koeficijenta 5 ceo ovaj deo deljiv sa 30.

Odavde sledi da je

deljivo za svako n, gde

I odavde je pogodno

Ako nijedan od brojeva

nije deljiv sa 5, onda je

oblika

. Pa zamenim to u

I to je to prakticno! Posto imamo proizvod 3 uzastopna prirodna broja deljivost sa 6 je ocigledna!

http://www.svijetfizike.com/

Odgovor na temu

Fermion
ucenik

Član broj: 273771
Poruke: 237
*.mbb.telenor.rs.

+13 Profil

Re: Kako ovo Dokazati

^{25.12.2010. u 10:14 - pre 162 meseci}

Evo još jednog rešenja.

Ako je n paran, tada je i

parno. Ako je n neparno tada je opet

kao razlika neparnih brojeva paran broj, što dokazuje deljivost sa 2.

Broj n je kongruentan ili -1 ili 0 ili 1 po modulu 3. Pošto u prvom slučaju

, u drugom se opet dobija nula, u trecem:

sledi da je broj

deljiv sa 3.

Po modulu 5 broj n je kongruentan nekom od brojeva -2,-1,0,1,2. U prvom slučaju

, za 1,-1, 0 je kao i u dokazu za 3, dok je

, pa je broj deljiv i sa 5.

Sledi da je broj

deljiv sa 30.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.ptt.rs.

+2790 Profil

Re: Kako ovo Dokazati

^{25.12.2010. u 10:56 - pre 162 meseci}

@edinsp

Pusti ovu dvojicu koji iznose neka elegantnija rešenja, koja funkcionišu u specijalnim slučajevima i zahtevaju cake. Samo te zbunjuju. Nauči ti opšte šablonsko rešenje koje sam ti dao, pa kada tu budeš siguran, onda možeš da se igraš sa cakama.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

petarm
Petar Mali
Zrenjanin

Član broj: 20220
Poruke: 1879
*.dynamic.sbb.rs.

+33 Profil

Re: Kako ovo Dokazati

^{25.12.2010. u 11:39 - pre 162 meseci}