U Matematiku svakako spadaju sve njene oblasti, pri čemu tu ima i oblasti koje (za sada) nisu primenjene nigde van Matematike, a recimo u Matematici su pomoću njih rešeni neki fundamentalni matematicki problemi. No, ako vas interesuje samo primenjena Matematika, onda je to stvar vaših interesovanja. Ne možete reći da je Matematika samo onaj njen deo koji vas zanima!
Daleko od toga da se Matematika bavi samo količinama i prostornim odnosima. To se u stvari može reci za Matematiku do početka XIX veka i pojave Galoaove teorije. Za "dogaloaovsku" Matematiku savremeni matematičari često cinično kažu da se bavila "prebrojavanjem ovaca na livadi". Ako želite da dođete do odgovora na pitanje šta je Matematika (danas), ne možete "živeti" u XVIII veku!
Evarist Galoa (Evariste Galois 1811-1832) je baveći se problemom rešivosti algebarskih jednacina
a_n*x^n+...+a_1*x+a_0=0, a_n<>0
preko operacija sabiranja, oduzimanja, množenja, delenja i korenovanja proizvoljnog stepena u kompleksnom području uveo tada potpuno nov matematički pojam -- grupe, koji nije niti geometrijskog niti numeričkog tipa! On je dokazao da postoje algebarske jednačine petog i višeg stepena čiji se koreni ne mogu izraziti preko pomenutih operacija ako kao konstante koristimo samo koeficijente a_0,...,a_n. Jedna od takvih jednačina je
x^5-5x+1=0.
Tu teoremu je pre njega dokazao Nils Abel, ali je Galoa otkrio opštu teoriju (koja po njemu nosi ime) koja je celu tu problematiku rasvetlila. Galoa nam je poznat po samo jednom otkriću, ali se zahvaljujući tom otktiću naziva "ocem moderne Matematike" jer se smatra da je "odlepio" Matematiku od onoga što se često cinično naziva "prebrojavanjem ovaca na livadi". To otkriće se smatra jednom od najvećih revolucija u istoriji Matematike. Sama nerešivost opšte algebarske jednacine petog i višeg stepena na pomenuti način i nije toliko značajna, koliko je značajno otkriće pojma grupe sa obzirom na činjenicu koliki je uticaj to otkrice imalo na Matematiku.
U srodne probleme spadaju i neki problemi konstruktibilnosti geometrijskih objekata lenjirom i šestarom koji su postavljeni još u staroj Grčkoj, a koji su rešeni, i to negativno (dokazom da je tražena konstrukcija nemoguća) algebarskim metodama u XIX veku. Danas se rešenja tih problema izlažu upravo u svetlosti teorije Galoa. Kasnije je Galoaova teorija uopštena i na druge vrste jednačina, kao što su diferencijalne, pa se tako danas zna za neke diferencijane jednačine da nisu rešive preko kvadratura (integracija).
Na neki ančin od starih grka nam potiče još jedan veliki problem -- problem paralelnosti. U Euklidovim "Osnovama Geometrije", koje su danas zbog pogrešnog latinskog prevoda grčke reči "stoiheja" poznatije kao Euklidovi "Elementi", nalazimo najstariji pokušaj aksiomatizacije (sistematskog zasnivanja i izlaganja) jedne teorije koji je stigao do nas. Ta Euklidova sistematizacija je dugo (sve do XIX veka) bila njbolji udžbenik Geometrije, kao i najbolji uzor za sistematsko izlaganje neke naučne ili filosofske discipline. Euklidovi "Osnovi Geometrije" su bili uzor Dekartu za sistematsko zasnivanje i izlaganje Filosofije, Njutnu Mehanike (čuveni "Matematički principi Fizike"), Spinozi Etike i tako dalje. Zanimljivo je još pomenuti da su sve do XX veka tri najčitanija dela bili Bublija, Danteova "Božanstvana komedija" i Euklidovi "Osnovi Geometrije" (ispred Kurana na primer). Naravno, Biblija se još uvek "drži" na prvom mestu.
Poznato je da se ni jedan stav ne može u potpunosti dokazati. Naime, ako bismo hteli neki stav da dokažemo u potpunosti, sam njegov dokaz bi se, kao što to mora biti, pozivao na neke činjenice, to jest argumente. No, dokaz će u tom slučaju biti valjan samo ako su ti argumenti valjani. To znači da ako želimo da budemo dosledni u dokazivanju u potpunosti stava koji želimo da dokažemo, morali bismo da dokažemo i te činjenice na koje smo se pozvali u dokazu, kao na argumente. Međutim, u dokazima tih drugih činjenica pozvali bismo se na neke treće, koje bismo ako hoćemo da budemo dosledni u dokazivanju stava koji želimo da dokažemo takođe morali da dokažemo. Ova priča ima tri moguća nastavka.
1. Proces dokazivanja se nikada ne završava. U tom slučaju stav nećemo nikada ni dokazati.
2. Na nekom mestu se poziva na stav koji se dokazuje preko stava koji se na tom mestu dokazuje. Ovo je klasična logička greška koja se zove "začarani krug" (circulus viciosus). U tom slučaju stav nećemo dokazati jer dokaz nije valjan.
3. Na nekom mestu se zaustavljamo i prihvatamo neke stavove bez dokaza. Ukoliko nismo napravili nijednu grešku, stav koji dokazujemo će važiti pod uslovom da važe svi stavovi koje smo usvojili bez dokaza. Drugim rečima, polazni stav smo dokazali do na te stavove, odnosno izveli smo ga iz njih.
Uobičajeno je da se treći put bira kao najprihvatljiviji. Neko može reći: "Ali zar stav nije dokazan u potpunosti, budući da su ti stavovi (koji nisu dokazani) krajnje jednostavni, očigledni i jasni?". Prvo, mi čak i ako smatramo neki stav koji nismo dokazali krajnje jednostavnim, očiglednim i jasnim, mi moramo prihvatiti činjenicu da taj stav nismo dokazali, a samim tim da nismo u potpunosti dokazali ni stav koji smo izveli iz tog (nedokazanog stava). Drugo, istorija Matematike nas uči da mnogi očigledni stavovi nisu tačni. Tu posebno treba istaći Peanove kontinuume u Paradoksalne dekompozicije Banaha i Tarskog.
Znači, nijedan stav ne možemo u potpunosti dokazati, pa moramo da se u procesu dokazivanja negde zaustavimo i prihvatimo neke činjenice bez dokaza. No, tu se odmah postavlja pitanje kriterijuma gde treba stati. Prvi kriterijum koji se nameće je da se zaustavi na krajnje jednostavnim, očiglednim i jasnim stavovima. No, uz prethodnu kritiku pojma očiglednosti treba dodati da je ovakav kriterijum krajnje subjektivan, jer ono što je jednom čoveku krajnje jednostavno, očigledno i jasno, drugome ne mora biti ni jednostavno, ni očigledno, ni jasno. Stoga se može u procesu dokazivanja zaustavljati na jednom, unapred dogovorenom skupu stavova koji se neće dokazivati. To su takozvani polazni stavovi ili aksiome. Stavovi koji se iz njih izvode se zovu teoreme. Tako se rešava problem subjektivnosti kriterijuma izbora stavova na kojima će se proces dokazivanja zaustavljati.
Iz sličnih razloga se ne mogu ni svi pojmovi definisati (definitio -- završiti), to jest ne može se za svaki pojam dati potpun kriterijum kada nešto pripada tom pojmu, a kada ne. Stoga se neki pojmovi ne definišu, već izdvajaju kao polazni, a ostali se definišu preko njih. Pojmove koje definišemo preko polaznih zovemo izvedenim pojmovima.
Iz tih razloga je Euklid izdvojio neke stavove kao polazne (aksiome i postulate) i iz njih izvodio ostale. No, postavilo se pitanje da li se peti Euklidov postulat može izvesti iz preostalih postulata i aksioma. Taj problem se naziva problemom paralelnosti. Do odgovora (negativnog) došlo se u XIX veku otkrićem modela u kojima važe sve aksiome i svi postulati izuzev petog. Prethodno su Lobačevski i Boljaj nezavisno jedan od drugog došli na ideju da je tako nešto moguće. To otkriće takozvanih neneuklidskih Geometrija je odlepilo Geometriju od empirije i time je Geometrija prestala da "robuje" Fizici kao disciplina koja proučava prostorne odnose u spoljašnjem (fizičkom svetu).
U poslednjoj četvrtini XIX veka Kantor (Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor) otkriva teoriju skupova. Ona se toliko svidela matematičarima kao zgodan jezik za izlaganje Matematike da je David Hilbert rekao "Iz raja koji nam je Kantor napravio, niko nas nikada neće isterati." (Aus dem Paradies das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können). No, u Kantorovoj teoriji skupova su otkrivene protivrečnosti. Najjednostavniji paradoks je bio Raselov. Koristio je samo "nešto malo" logike i aksiomu komprehenzije (okupljanja) koja glasi
"Za svaku unapred datu osobinu P(x) postoji skup čiji su elementi tačno oni x za koje važi P(x)".
Taj skup se obeležava sa {x:P(x)}. Uočimo osobinu P(x) definisanu sa
P(x) <=> (x je skup i x ne pripada skupu x)
Tada za skup A={x:P(x)} važi
x pripada skupu A <=> (x je skup i x ne pripada skupu x).
Ako x jeste skup, to se svodi na
x pripada skupu A <=> x ne pripada skupu x.
Zamenjujući x sa A dobijamo da važi
A pripada skupu A <=> A ne pripada skupu A,
a to je kontradikcija budući da ni jedan iskaz nije ekvivalentan svojoj negaciji (ne(p<=>ne p) je tautologija). Onda su matematičari pokušali da "spasu" teoriju skupova na razne načine, i tako su nastali razni pravci u Matematici koji daju različite odgovore na osnovna pitanja Filosofije Matemetike među koje spada i pitanje šta su matematički objekti. Neki od pravaca su formalizam, logicizam, realizam, platonizam i intuicionizam, o kojima ne mogu ovde da pišem (barem ovaj put). Danas se Matematika uobičajeno izlaže u okviru aksiomatske teorije skupova ZFC koja je zasnovana na predikatskom računu prvog reda i u kojoj do sada nije otkrivena ni jedna protivrečnost.
Stvari su se dodatno iskomplikovale kada je Gedel (Kurt Gödel) u prvoj polovini XX veka otkrio da bilo kakav eventualni pokušaj formalnog zasnivanja Matematike koji bi dopustio opsivanje iole ozbilnijih fragmenata Matematike nepotpun. Štaviše, ne može se nikako upotpuniti dodavanjem niovih aksioma tako da ostane neprotivrečan i da pitanje da li je nešto aksioma bude algoritamski rešivo. Jedno od najpoznatijih matematičkih tvđenja za koje je dokazano da nije niti dokazivo niti opovrgljivo u sistemu ZFC je kontinuum hipoteza (CH) koja klasi
"Ne postoji skup A takav da se niti skup realnih brojeva može 1-1 preslikati u skup A, niti da se skup A može 1-1 preslikati u skup prirodnih brojeva".
Gedel je 1938. pronašao model koji zadovoljava sve aksiome teorije skupova i u kome važi CH, a Koen (Paul Cohen) je 1963. pronašao model u kome važe sve aksiome teorije skupova i u kome ne važi CH. To znači da CH uopšte ne zavisi od sistema aksioma ZFC. Što se tiče polja realnih brojeva koje je definisano kao uređeno polje koje zadovoljava aksiomu supremuma, taj opis itekako počiva na pojmu skupa za koji, kao što vidimo, nemamo potpun opis. Stoga nije do kraja rečeno ni šta su realni brojevi. Zapravo, dokazuje se da je opis strukture realnih brojeva preko skupova potpun do na skupove, za koje imamo samo delimičan opis. Takođe, postoje i sasvim drugačija zasnivanja Matematičke Analize kao što su Nestandardna Analiza i Glatka Infinitezmalna Analiza.
No, pravi problemi nastaju kada se stigne do nekih dubljih hipoteza iz teorije skupova za koje više nije sigurno ni da li predstavljaju matematička pitanja jer nije jasno na šta se odnose, budući da se pojam skupa ne može nikada sa svih strana rasvetliti. Ovim i dalje nije dat odgovor na pitanje postavljeno na početku, već je samo ukazano da se u traženju odgovora na to pitanje sve ove činjenice (kao i mnoge druge o kojima ne mogu ovde i sada da pišem) moraju uzeti u obzir. Takođe, odgovor na to pitanje nije jedinstven. Svaki od pomenutih pravaca daje po jedan odgovor i ti odgovori nisu međusobno ekvivalentni, pa čak ni saglasni. To je posledica činjenice da svaki od tih pravaca predstavlja jednu (od ko zna koliko mogućih) koncepcija zasnivanja Matematike. Drugim rečima, Matematika nije jedna ako pod Matematikom podrazumevamo ono što matematičari podrazumevaju pod tim pojmom, već u tom smislu postoje razne "Matematike".
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.