Ok, ide ovako:
Mozemo se ograniciti na konacne skupove tacaka. :)
Prvo neka je
, neki skup razlicitih tacaka (
) i
skup svih pravih koje su odredjenje elementima skupa
(jel ovako ok? :)). Skup
ima svojstvo
, ako nisu sve tacke iz tog skupa kolinearne.
Dokazac1emo obicnom indukcijom po
da je
, za svaki skup
koji poseduje svojstvo
(izostavicemo slucajeve
, jer su trivijalni).
baza indukcije: Za
. Prostom analizom slucajeva vidimo da vazi data nejednakost. :)
ind. pretpostavka: Neka za svaki skup tacaka
koji ima
elemenata i poseduje svojstvo
vazhi data nejednakost.
ind. korak: Dokazimo da sada za svaki skup tacaka
koji ima
element i poseduje svojstvo
vazi data nejednakost.
U tom slucaju mozemo iz skupa
mozemo izdvojiti podskup koji ima
elemenata i poseduje svojstvo
(u suprotnom bi svakih
tacaka iz toga skupa lezale na jednoj pravoj, pa bi i sve tacke skupa
lezale na jednoj pravoj zbog
, sto bi bila kontradikcija). Neka je ostala tacka
posle izdvajanja skupa od
tacaka sa svojstvom
iz skupa
. Po induktivnoj pretpostavci je
. Sada je dovoljno dokazati da tacka
sa nekom od preostalih tacaka obrazuje pravu koja nije element
. Pretpostavimo suportno tj. da svaki element skupa
sadrzhi tacku
. Kako je
to je
, pa postoje tri nekolinearne tacke iz skupa
. Neka su to
. Po pretpostavci vazhi da prave
sadrze tacku
, pa se one seku u jednoj tacki. Ovo je kontradikcija jer te prave sadrze stranice trougla
(svojstvo
).
Znaci bar jedan od elemenata skupa
ne sadrzi
, pa vazhi
.
Ovim je dato tvrdjenje dokazano.
Kombinatorna geometrija
prirodan broj takav da je 
. Koliko najvise tacaka u ravni moze da obrazuje ukupno 
