|
petarm
Petar Mali
Zrenjanin
Član broj: 20220
Poruke: 1879
82.208.193.*
|
Da li bi neko mogao da dokaze rekurentne relacije koje vaze za Fibonacijev niz? I jos jedno pitanje. Kad bih posmatrao odnos dva clana Fibonacijevog niza i pustio limes ovog odnosa da tezi u beskonacnost da li bih dobio da ovaj odnos tezi zlatnom preseku?
|
|
|
| |
|
|
holononi
Član broj: 163572
Poruke: 658
*.adsl.beotel.net.
|
|
|
|
| |
|
|
Cabo
Lokanje u bircuzu
Član broj: 10942
Poruke: 684
*.vdial.verat.net.
|
Citat: petarm: Da li bi neko mogao da dokaze rekurentne relacije koje vaze za Fibonacijev niz?
Možeš li da budeš malo određeniji?
|
|
|
| |
|
|
holononi
Član broj: 163572
Poruke: 658
*.adsl.beotel.net.
|
Problem zlatnog preseka je vezan za odredjivanje tačke na duži tako da se manji deo odnosi prema većem kao veći deo prema celoj duži. Neka je data duž AB sa tačkom C tako da je duž CB = 1 i neka je duž AC = x. Tada
AB/AC = AC/CB odnosno (x + 1)/x = x/1, tj. x2 - x - 1 = 0.
Rešenje ove kvadratne jednačine je odnos zlatnog preseka φ1,2 = (1 ± √5)/2, φ1 ≈ 1.6180339...
Geometrijska konstrukcija polazi od duži AB. Povuče se normala u tački B dužine duži AB. To je prečnik kruga sa centrom u tački S koja je na polovini normale. Kroz tačku A i tačku S se povuče prava koja daje tačku D u preseku sa kružnicom. Iz tačke D se povuće luk sa centrom u tački A. Presek tog luka i duži AB je tačka C zlatnog preseka.
Kakve to ima veze sa Fibonačijevim brojevima. Fibonačijevi brojevi su F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn-1 + Fn-2. Sledi da je karakteristična jednačina ove rekurentne formule data sa
x2 = x + 1
čija su rešenja upravo φ1,2. Time se dobije opšte rešenje rekurentne formule
Fn = Aφ1n + Bφ2n
pa je A = 1/√5 i B = -1/√5, što za opšti član Fibonačijevog niza daje
Fn = ( φ1n - φ2n )/√5
Ako je pitanje da li znam da rešim svaki zadatak sa Fibonačijevim nizovima, ne, ne znam, možda poneki.
|
|
|
| |
|
Fibonacijev niz rekurentne relacije
