[es] - Da li je skup zatvoren?

number22
Bez

Član broj: 246412
Poruke: 44
*.opera-mini.net.

+1 Profil

^{29.05.2010. u 20:27 - pre 169 meseci}

U prostoru neprekidnih funkcija na segmentu C[a,b] dat je skup A koji sadrzi sve (neprekidne) funkcije koje imaju bar jednu nulu na [a,b]. Dokazati da je skup A zatvoren skup u C[a,b].

Pokusao sam da dokazem da A sadrzi granicnu funkciju svakog konvergentnog funkcionalnog niza iz A, jer bi to znacilo da je skup zatvoren. Ali ne ide mi nesto. Dobijem da granicna funkcija tezi nuli u nekoj tacki segmenta sto ne mora znaciti da je element skupa A. Mozda ovo i nije najlaksi nacin za dokaz...

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
212.200.65.*

+2790 Profil

Re: Da li je skup zatvoren?

^{29.05.2010. u 22:02 - pre 169 meseci}

Neka je

. Ovo je niz neprekidnih funkcija koje u datom segmentu imaju nulu, ali taj niz funkcija divergira. Navedeni skup nije zatvoren.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

number22
Bez

Član broj: 246412
Poruke: 44
*.opera-mini.net.

+1 Profil

Re: Da li je skup zatvoren?

^{30.05.2010. u 00:34 - pre 169 meseci}

Nisu ni bitni divergentni nizovi, samo konvergentni.

Evo kako sam ja pokusao.
Neka je fn konvergentan niz funkcija iz A koji konvergira ka f. Tada niz i ravnomjerno konv. ka f. Pa za svako €>0 (epsilon) i dovoljno veliko n (vece od n0) imamo
| fn(x) - f(x) | < € za svako x iz intervala. Neka je k > n0 i neka funkcija fk(x) ima nulu u tacki c intervala [a,b]. Pa je
| fk(c) - f(c) | < €, a odavde je
| f(c) | < €, sto znaci da je
lim f(x) = 0 (kad x tezi c). E sta sad? Jel ovo znaci da f ima nulu u [a,b]?

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
212.200.65.*

+2790 Profil

Re: Da li je skup zatvoren?

^{30.05.2010. u 10:01 - pre 169 meseci}

E, da, ja sam dokazao da taj skup nije kompaktan.

Da, ako je

neprekidno i

(što je ispunjeno zbog zatvorenosti domena), onda je

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

number22
Bez

Član broj: 246412
Poruke: 44
*.opera-mini.net.

+1 Profil

Re: Da li je skup zatvoren?

^{30.05.2010. u 11:31 - pre 169 meseci}

f je neprekidno zbog ravnomjerne konvergencije (posto su i fn neprekidne).
Znaci, vazi da je f(c) = 0, zato sto je c iz segmenta [a,b] i f je neprekidno. A da je (a,b) npr. interval ne bi moralo to da vazi? Pa je i skup A zatvoren.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
212.200.65.*

+2790 Profil

Re: Da li je skup zatvoren?

^{30.05.2010. u 12:10 - pre 169 meseci}

Da.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

number22
Bez

Član broj: 246412
Poruke: 44
*.opera-mini.net.

+1 Profil

Re: Da li je skup zatvoren?

^{12.06.2010. u 20:32 - pre 168 meseci}

Opet je netacno. A obrazlozenje je da iz |f(c)|<€ (za svako €<0) ne slijedi da je
lim f(x) = 0 (kad x tezi c) bez obzira sto je c iz segmenta[a,b]...

Odgovor na temu