Moguća ili nemoguća trisekcija

Cek, ja sam malo zbunjen,
vi ste ozbiljni sa ovim ????

mislim, pa rekose vam ljudi da je nemoguce konstruisati ako koristite lenjir i sestar na dozvoljen nacin :).
dokaz je toliko trivijalan, da se pitam da li ste procitali neku knjigu iz algebre (da, algebre, i jos jednom da ponovim, ALGEBRE).

naravno da je moguce konstruisati trecinu ugla ako dodate neki novi alat koriscenju ili pak ako uzmete specijalne slucajeve (prav ugao na primer :))) ).

i ajde da malo pojasnim, kao sto znate jednacina x = x+1 nema resenja i to vam je ok prihvatiti, a nije vam ok prihvaitti da regularnim koriscenjem lenjira i sestara ne mozete ...

Ode covek na koju deceniju i u sta se pretvori ovaj forum ...

---

Sve to što si naveo znam, međutim, nisam znao i pokušavao sam, kao i more drugih matematičara i nematematičara,
da rešim problem. Može se na mnogo interesantnih načina rešiti trisekcija izuzev na traženi način. Čak si i ti pogrešio
kada kažeš da se "regularnim" korišćenjem lenjira i šestara ne može rešiti trisekcija jer nisi naveo šta je to regularno
korišćenje i nisi rekao zašto uslovljavaš korišćenje baš lenjira i baš šestara.
Upravo tu je greška u celom svetu - uvek se govori o lenjiru i šestaru što je u osnovi pogrešno, jer se sa lenjirom i
šestarom koji možeš kupiti u knjižari, može rešiti trisekcija ugla.
Ako si već počeo da deliš savete onda bi trebalo da kažeš: Trisekcija ugla se ne može rešiti pomoću kružnice i prave
linije. Da li ću ja crtati kružnicu šestarom ili kanapom koji je jednim krajem slobodno vezan za neku osovinu i da li ću
prave linije crtati uz pomoć zategnutog kanapa ili svetlosnog zraka nikoga nije briga niti to treba uslovljavati kao što
se to non stop čini.
Prema tome ponavljanje neispravne fraze "pomoću lenjira i šestara" umesto prave linije i kružnice jednako je
iritantno kao i pokušaji trisekcije koristeći taj alat.
I na kraju šta tebi smeta što neko pokušava da to reši - ja nalazim da su takvi pokušaji vrlo zanimljivi i da se usput
nailazi na interesantne probleme koji takođe traže rešenje. Jedan takav primer dao sam i na forumu za matematiku u
temi koja glasi "Treba da se dokaže".
Pa izvoli! Verujem da ima još neotkrivenih svojstava kružnice. Ako ne pokušavamo nećemo ih nikad ni otkriti.

Ja sam ozbiljan! :)



mslm, pa rekoše i da je ona baba veštica i spališe je na lomači, al ja sam sve nešto sumljičav, "rekoše ljudi" baš i nije neki argument



Meni dokaz nije trivijalan, a nije bio ni ljudima u 2000 godina dugom periodu sve do 1837, nemam pojma kako se šaltaju sa geometrije na algebru i nazad, kako se dokazuje da je lenjirom i šestarom moguće uraditi samo operacije a=b+c, d=a^2 itd, naročito zašto samo te operacije kako se zna da ne mogu još neke? Nemam pojma šta je polje Galua i šta bi tu trebalo biti trivijalno? Pa onda zatim dokaz je na engleskom nikad ga nisam pročitao na našem jeziku, znam engleski dovoljno da nešto pročitam, al dok prevedem izgube mi se neki bitni detalji, ako smo imali knjigu iz te algebre u sklopu lektire u školi onda jesam, a ako nismo onda nisam, da nisam, i još jednom da ponovim NISAM???

Evo ga dokaz, ništa ne razumem? Proof of impossibility

Rulers. an ideal straightedge is un-marked,compasses

Pierre Wantzel published a proof of the impossibility of classically trisecting an arbitrary angle in 1837.[2] Wantzel's proof, restated in modern terminology, uses the abstract algebra of field extensions, a topic now typically combined with Galois theory. However Wantzel published these results earlier than Galois (whose work was published in 1846) and did not use the connection between field extensions and groups that is the subject of Galois theory itself.[3]

The problem of constructing an angle of a given measure θ is equivalent to constructing two segments such that the ratio of their length is cos θ. From a solution to one of these two problems, one may pass to a solution of the other by a compass and straightedge construction. The triple-angle formula gives an expression relating the cosines of the original angle and its trisection: cos θ = 4cos3(θ/3) − 3cos(θ/3). It follows that, given a segment that is defined to have unit length, the problem of angle trisection is equivalent to constructing a segment whose length is the root of a cubic polynomial. This equivalence reduces the original geometric problem to a purely algebraic problem.

Every rational number is constructible. Every irrational number which is constructible in a single step from some given numbers is a root of a polynomial of degree 2 with coefficients in the field generated by these numbers. Therefore, any number which is constructible by a sequence of steps is a root of a minimal polynomial whose degree is a power of two. Note also that π/3 radians (60 degrees, written 60°) is constructible. The argument below shows that it is impossible to construct a 20° angle. This implies that a 60° angle cannot be trisected, and thus that an arbitrary angle cannot be trisected.

Denote the set of rational numbers by Q. If 60° could be trisected, the degree of a minimal polynomial of cos(20°) over Q would be a power of two. Now let y = cos(20°). Note that cos(60°) = cos(π/3) = 1/2. Then by the triple-angle formula, cos(π/3) = 1/2 = 4y3 − 3y and so 4y3 − 3y − 1/2 = 0. Thus 8y3 − 6y − 1 = 0, or equivalently (2y)3 − 3(2y) − 1 = 0. Now substitute x = 2y, so that x3 − 3x − 1 = 0. Let p(x) = x3 − 3x − 1.

The minimal polynomial for x (hence cos(20°)) is a factor of p(x). Because p(x) has degree 3, if it is reducible over by Q then it has a rational root. By the rational root theorem, this root must be 1 or −1, but both are clearly not roots. Therefore, p(x) is irreducible over by Q, and the minimal polynomial for cos(20°) is of degree 3.

So an angle of 60° = π/3 radians cannot be trisected.



Brt, zzzz kaže da ima rešenje nego da ispada iz poteza lenjirom i šestarom, ne ta tvoja jednačina nego ona njegova, kad smo već kod toga do sad sam skapirao da je tim starim grcima lenjir bio vako neka letvica, neobeležena, samo da je kolko tolko prava, šta im je bio šestar, jel može taj njihov šestar da menja otvor šestara ili uvek moram da crtam istu kružnicu? Hm, moguće i da koristimo različit rečnik po tebi x = x+1 "nema rešenja" a ja bih rekao skoro sve drugo osim taj izraz, da je besmisleno, da nema od čega da se traži rešenje itd...Kao kad bi na srpskom rekao: Trihingulacija je umagumavna, besmisleno je, liči na jezik, ima konstrukciju jezika, koristi neke reči ali nije smisleno, to x = x +1 je samo iskorišćeno x,=,+ i 1 tj. neki simboli karakteristični za matematiku, ispisano na besmislen način? Nema od čega da nema rešenja? :)

Ovo ti je upozorenje da ne odlaziš na duže od dva dana, takodje ovo je mad zone ako ćeš o matematici imaš odgovarajući forum, nego ti si još jedan ljubomorko što sam ja prvi rešio :) evo za Diskriminantu još jedna lepa slika da vidi da nisam ništa muljao ni krao, bez sve šege kako bi ste nekom srednjoškolcu koji ne zna šta je polje Guloa, npr. meni, objasnili da ovo nije trisekcija?

---

Ovako izgleda tvoj ugao beta kada se uveća. Crvenim krugovima označene su "slučajne" greške!

@chupcko
Diskriminanta je ozbiljan, a Major nas malo zeki.

@Majore
Konačno si našao, bravo, bravo, bravo.

@Diskriminanta
Iako se nisi direktno obratio meni, osećam potrebu da ti odgovorim.



To nije opravdanje, naročito imajući u vidu da je danas svima dostupan internet i pretraga, pa se o problemu možeš informisati u nekoliko klikova.



Može, niko ne kaže da ne može.



Ne mora on ništa da navodi, u matematici se vrlo jasno i nedvosmisleno zna šta se podrazumeva kada se u zadatku/problemu kaže "konstruisati...". Dakle, nije u pitanju nikakvo uslovljavanje, već opšteprihvaćeni dogovor, koji nije dat tek tako, već za to postoji dobar razlog.



Nije pogrešno i ne, ne može. U celom svetu greše? Jesi li ozbiljan ili se šališ?



Ne deli tebi čupko savete, bar ne te vrste, pokušava nešto da ti kaže, ali ti ne želiš da čuješ. Tu se vidi da uopšte nisi u stanju da pojmiš ono o čemu govoriš, nemaš ni blage predstave o tome.



Tebi je to možda iritantno, ali to je tako, koliko god ti se ne dopadalo.



Meni ne smeta uopšte, naprotiv, vrlo mi je interesantno da gledam ove slikovnice i "vrhove" uglova. Dakle, ugao nema "vrh" već teme, ugao nema "krajeve", već krake, tačka ne može da "kliza" po duži niti da "padne" na istu, tačke se obeležavaju velikim slovom abecede(A, B, C, D, E, F,...), ne postoje "linije krajeva ugla", postoje kraci ugla, "krivljenje linija" i njihova primetnost/neprimetnost za ljudsko oko nisu pojmovi/objekti/pojave od interesa za matematiku kao nauku, znam za interpolaciju u numeričkoj analizi, nisam znao za metod interpolacije u geometriji, prave se ne "ukrštaju" već seku,...

Mogu ovako do sutra da nabrajam, čitajući tvoje postove na temi koju si sam postavio. Samo nastavi, baš si interesantan.

Da, sad sam se setio, profesor Đura Paunić sa PMF-a u Novom Sadu je izdao jednu vrlo zanimljivu i lepu knjižicu, koja se zove Pravilni poligoni, a koja ima veze sa ovom temom. Ne bih da reklamiram, na sajtu DMS-e imaš još dosta lepih knjižica, koje su uzgred i pristupačne, pa možeš da se zanimaš do mile volje, pošto bi se reklo da ti je matematika hobi.

Ma mislim stvarno ...

A da uzmes malo literature i naucis sta je regularno koriscenje lenjira i sestara :))))), proucis malo stare grke i slicno :)))).

Ali neka deco, samo se vi igrajte, mozda na kraju i naucite nesto ;)))))))))).

BTW, pametne ljude nisu razumeli, mene ne razumeju, dakle ja sam pametan .... tu fali malo poznavanja logike ;)))))). Pogledaj arhivu recimo ja sam dao kako se konstruise trecina ugla sa sve dokazom koristeci lenjir na nedozvoljeni nacin :))).
To je staro resenje koje je od iha ha :)))), cak sam razmatrao uvodjenje novog uredjaja kojim bi se povecao skup mogucih konstruisanih tacaka :).

Ali ono sto se zadrzavati samo na trisekciji ugla, ajde udvajanje kocke, kvadraturu kruga i slicno :))))))))))))).
I samo napred da se resi x = x + 1, sigurno ima neki broj za koji to vazi :)))))))))


P.S. i ne citam sta sve pokusavaju ova deca da napisu, ne vredi, ali mi je ipak malo smesno :))))

---

Evo postupka :)))), nasao sliku koju Nedeljko okacio svojedobno,

za ugao AOB produzimo polupravu OB u pravu, zatim opisemo kruznicu sa centrom u O i poluprecnikom |OB|
Zatim na lenjiru nacrtamo tu istu duz (drveni lenjir, ako ga neko ima). I to kao tacke EF

E sada slozeni deo pomeramo lenjir tako da tacka E bude na pravoj OB, a tacka F na kruznici , a da lenjir (prava) prolazi kroz tacku D koju smo dobili presekom kruznice i kraka OA.

E sadaaaaaaaaaaaaaaa, ja tvrdim da je ugao FEC trecina AOB :).
I mogu cak i da dokazem jednostavno, ali necu, pusticu vas pilice da iskoristite cinjenicu o zbiru uglova u trouglu i da pokusate da shvatite da je recimo ugao FDO dva ugla FEC :)

Mislim ovime sam se igrao kada sam imao 16 godina, pre puno godina :)))).

E sada upotreba lenjira je naopaka i ne spada u regularnu upotrebu :))))).

---

Ako ti je smešno pa smej se. Zadovoljstvo je tvoje. Verovatno si negde ugledao brašno!


I šta to petljaš s Ahimedovom trisekcijom s kojom si se ti kao igrao davno? Čak se praviš važan što umeš
da sračunaš koliki su uglovi u trouglu i izvan njega.

_{[Ovu poruku je menjao Diskriminanta dana 21.11.2016. u 22:43 GMT+1]}

<FOD = 180 - 4y
<FOC = y
<FOC + <FOD + <AOB = 180

y + 180 - 4y + x = 180

-3y + x = 0

y = 1/3 x


Eto, rešismo trisekciju.

Eto! I to je kao neko tvoje objašnjenje.
Valjda je red da kažeš, pametnjakoviću, ako znaš, kako je naopaka i zašto ne spada u regularnu upotrebu!

Ovo bi trebalo biti rešenje trisekcije, ali kako konstruisati?

Eh, nemamo argumenata, ajde da krenemo da vredjamo :))))))

uzmi malo citaj mitologiju grcku :)))),

ali evo da pokusam da ti izvucem sta je jedino ispravna upotreba lenjira i sestara :))))

tacku dobijamo ili slobodnim izborom negde ili u preseku dve prave, dve kruznice ili prave i kruznice
pravu dobijamo samo prolaskom kroz dve tacke
kruznicu crtamo tako sto u jednu tacku zabijemo sestar i a u drugu drugi krak, hoce reci dve tacke (uredjene) definisu kruznicu, jedna tacka centar, druga je na samoj kruznici

NISTA vise nije dozvoljeno :)))),
za pocetak se igraj i pokusaj da neke obicne konstrukcije uradis tako :)

recimo normala na pravu, pa onda crtanje kruznice sa "otvorenim sestarom" (hoce reci sa zadatim poluprecnikom), pa probaj pararelnu pravu

Dakle posto vec resavas zadatak, a da se nisi zapitao kako glasi tacno zadatak, evo ja sam ti izvukao iz literature kako konkretno glasi zadatak.

skini ovu igricu, pa se malo poigraj :)))
[url]https://play.google.com/store/apps/details?id=com.hil_hk.euclidea&hl=en[/url]

a sto se tice dokaza da na gornji nacin ne moze da se konstruise trecina nekih uglova (nekih moze), kada zavrsis osnovnu skolu mozes pokusati :))))

i da, bolje resi jednacinu x^x = 10 :)))) to je zanimljivije :)

P.S. na zalost tvoju matematika nije nauka gde se veruje na rec, nego se traze dokazi, evo sada si dobio kako glasi konkretno zadatak, i svi pametni vec znaju dokaz da je tako nemoguce konstruisati trecinu ugla ;).
I na jos vecu tvoju zalost, dokaz je toliko jak i toliko ispravan, da si samo smesan u pokusajima da ga oboris :)))))

---

Šteta što nisi bio živ u Arhimedovo vreme pa da mu kažeš da je glup kao i svima pre i posle njega koji su pokušavali.

O da, svima koji posle dokaza da je nemoguce pokusavaju bi rekao da su glupi :))))

Onima pre dokaza ne bi rekao, a onome ko je dokazao rekao bi da je genije :))))).

Dakle od kako je dokazano da je nemoguce svi koji poikusavaju su ne glupi, nego dokazano glupi :)))))).

Jos jednom da ponovi, sa onim nacinom konstrukcije koji je spomenjen ranije : NEMOGUCE JE URADITI TRISEKCIJU UGLA :).

Dokaz necu da ti izvodim, mada se dobro secam da sam ga imao na ispitu iz algebre 1 1992-e :)))

---

Ispada da ti veruješ da si ti pametan zato što je neko drugi dokazao da je tražena trisekcija nemoguća.

Sam nisi probao ni da je uradiš ni da suprotno dokažeš. To prepuštaš drugima pa se posle kitiš tuđom pameću.

Moram i ja da ti nešto otkrijem :-----:::::))))) I moj komšija ima Čupka.

Ne, ja ne verujem da sam pametan, ali neki drugi veruju da jesam, mada sada demantuijem jer se raspravljam sa tobom :).

Ja znam da je nemoguca, pa i ne pokusavam da je resim :)))), mene je dokaz ubedio, jer sam ga sam prosao i verifikovao.
Kao sto ne pokusavam da resim jednacinu x = x+1, znam da je neresiva :).

Moja pamet se ogleda u tome sto sam shvatio sta su drugi pametni rekli, a tvoja glupost u tome sto ne postujes pametnije :).

Da, ima ga i Nodi, pa sta, zato sam ja snirsko, nisi ti dobro procitao :)))), Citaj cirilicom :)

---

Hvala, ti si mi prvi čestitao :)



Pa nisi ni blesav da čitaš šta ti sagovornici napišu? Na šta bi onda ličila diskusija? :)



Hm, pa ako tačku dobijam slobodnim izborom, onda mogu da nacrtam i proizvoljnu pravu i proizvoljnu kružnicu, jer ako imam jednu tačku samo dodam drugu koja nedostaje metodom slobodnog izbora i nacrtam šta mi nedostaje? Tj, ja mislim da prava može da se povuče i kroz jednu tačku, lenjir služi i za "produžavanje poluprave" itd...? Takodje dozvoljeno je nacrtati neku proizvoljnu kružnicu sa proizvoljnim otvorom šestara?

---

Eh, pa nemam ja ceo zivot da citam razne budalastine :))))))))))))))), ali me to nece spreciti da odgovorim, mozda pomognem nekom pametnom i sa razumom ko ovo cita ;))).

Lepo sam rekao sta su jedine ispravne konstrukcije :)))).naravno ostale mozes izgraditi koristeci samo snovne i onda ih koristiti "ubrzano", recimo kada vidis da se ovim nacinom moze povuci normala na pravu koja prolazi kroz tacku, ond anadalje mozes koristiti spravu za normale bez problema ;))).

A sada, dosta, bice vam sve jasnije kada krenete u srednju skolu ...

---