Teorija Relativnosti | elitemadzone.org

Re: Teorija Relativnosti 16.12.2008. u 10:06 · pre 218 meseci #2021

Ume li iko da otvori Srecin fajl i pomocu cega?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Teorija Relativnosti 16.12.2008. u 11:07 · pre 218 meseci #2022

Ovo je novi word, otvori ga wordom 2007 ili 2003 ako imaš konvertor...

Re: Teorija Relativnosti 16.12.2008. u 12:13 · pre 218 meseci #2023

Nemam i ne zanima me. Kad neko bude okačio oblik koji mogu da pročitam, odgovoriću.

Dakle, neka u stanju manji štapovi imaju sopstvenu dužinu $l$ , a duži štap dužinu $3l$ . Neka su u sistemu S vezanom za zemlju koordinate kraćih štapova $0,l,2l,3l$ , a dužeg štapa $0,3l$ i neka posmatrač trči po zemlji brzinom $v$ u pozitivnom smeru $x$ -ose.

Lorencove transformacije iz sistema S u sistem S' u kome posmatrač miruje glase $x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ , $t'=\frac{t-vt/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ . Kako posmatrač vidi štapove? Izaberimo fiksirani trenutak $t'_0$ u sistemu S' i razmotrimo tačku P koja je u sistemu S nepokretna i ima prostornu koordinatu $x_0$ . Izračunajmo njenu prostornu koordinatu u sistemu S' u trenutku kada posmatračev časovnik pokazuje trenutak $t_0'$ .

Prostorvremenske koordinate tačke P, u trenutku $t$ u sistemu S glase $(x_0,t)$ . One u sistemu S' glase $\left(\frac{x_0-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\frac{t-vx_0l/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)$ . No, da bismo odredili položaj te tačke za posmatrača u trenutku kada posmatračev časovnik pokazuje vreme $t'_0$ moramo odrediti trenutak $t$ sistema S iz uslova $\frac{t-vx_0/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=t_0'$ . Dakle, $t=\frac{vx_0}{c^2}+t_0'\sqrt{1-v^2/c^2}$ odakle je odgovarajući položaj te tačke za posmatrača u trenutku kada njegov časovnik pokazuje vreme $t_0'$ jednak $x_0'=\frac{x_0-v(vx_0/c^2+t_0\sqrt{1-v^2/c^2})}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=x_0\sqrt{1-v^2/c^2}-vt_0$ , odakle je jasno da se tačka P kreće u negativnom smeru $x$ -ose brzinom $v$ .

Ako neka tačka miruje u sistemu S u položaju $x_0$ , ona u sistemu S' ima zakon kretanja $x'=x_0\sqrt{1-v^2/c^2}-vt'.$

Sad primenite to zamenjujući $x_0$ sa $0,l,2l,3l$ i dobićete zakone kretanja krajeva štapova, kao i kontrakciju njihovih dužina.

EDIT: Ispravih par štamparskih grešaka u poslednjem redu.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Teorija Relativnosti 16.12.2008. u 13:19 · pre 218 meseci #2024

Čini mi se da nisi (Nedeljko) shvatio startnu postavku D. Gaćeša, (ili sam ga ja pogrešno shvatio?) - Jedan štap, jedna dužina AB (jedna "izmjerena dužina" $l_0$ razdaljina između aviona A i B), a nakon isteka vremenskog intervala t imaš dvije mogućnosti (po STR), no ako je Dane zadovoljan odgovorom - kazat će ti.
Ja samo želim konkretnu dužinu "Ajnštajnovog vagona" $l_0$ u kretanju brzinom v = c/n.
Ono "dodatno pitanje" prikačio sam tek da vidim možeš li otvarati taj format, a evo prikačit ću i u PDF (isti tekst).

Dodatno pitanje.pdf244.84k

Re: Teorija Relativnosti 16.12.2008. u 14:42 · pre 218 meseci #2025

Upravo pročitah Sprečin pdf fajl.

Počinješ tekst nekom jednačinom

$\frac{2}{l_0}=\frac{1}{ct_1}+\frac{1}{ct_2}$ , koja bez interpretacije veličina ne znači ništa. Meni su jasne veličine 1,2 i c, ali za ostale nemam pojma šta znače. Lako je tebi da kažeš "izmerena veličina", ali čega. Je li l₀ širina mog radnog stola, t₁ vreme obrta Zemlje oko Sunca, a t₂ trajanje poslednje fudbalske utakmice između Partizana i Crvene Zvezde? O ovome je mnogo puta bilo reči.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Teorija Relativnosti 16.12.2008. u 14:56 · pre 218 meseci #2026

U udžbenicima se koristi naziv "izmjerena dužina" za dužinu jednog "Ajnštajnovog vagona" $l_0=ct_0$ .
U prethodnoj poruci prikazao si jednu od "harmonijskih sredina" duži (ima ih još). Ajnštajnove veličine slijede odnose između A- aritmetičke, G - geometrijske i H - harmonijske sredine za dužine: (ct + vt) i (ct - vt).
Ovo sa PDF - formatom prvi put danas "skužio" i odradio (hvala ti, napredujem u ovoj kompjuterskoj vještini).

sin-objaš..pdf142.73k

Re: Teorija Relativnosti 16.12.2008. u 16:40 · pre 218 meseci #2027

Pojednostavljenje Nedeljkovog teksta.
uvedimo $\gamma=\sqrt{1-v^2/c^2}$

Dakle, neka u stanju manji štapovi imaju sopstvenu dužinu l , a duži štap dužinu 3l. Neka su u sistemu S vezanom za zemlju koordinate kraćih štapova 0,l,2l,3l, a dužeg štapa 0, 3l i neka posmatrač trči po zemlji brzinom v u pozitivnom smeru x -ose.

Lorencove transformacije iz sistema S u sistem S' u kome posmatrač miruje glase
$x'=\frac{x-vt}{\gamma}$ , $t'=\frac{t-vt/c^2}{\gamma}$ . Kako posmatrač vidi štapove? Izaberimo fiksirani trenutak $t'_0$ u sistemu S' i razmotrimo tačku P koja je u sistemu S nepokretna i ima prostornu koordinatu $x_0$ . Izračunajmo njenu prostornu koordinatu u sistemu S' u trenutku kada posmatračev časovnik pokazuje trenutak $t_0'$ .

Prostorvremenske koordinate tačke P, u trenutku $t$ u sistemu S glase $(x_0,t)$ . One u sistemu S' glase $\left(\frac{x_0-vt}{\gamma},\frac{t-vx_0l/c^2}{\gamma}\right)$ . No, da bismo odredili položaj te tačke za posmatrača u trenutku kada posmatračev časovnik pokazuje vreme $t'_0$ moramo odrediti trenutak $t$ sistema S iz uslova $\frac{t-vx_0/c^2}{\gamma}=t_0'$ . Dakle,
$t=\frac{vx_0}{c^2}+t_0'\gamma}$ odakle je odgovarajući položaj te tačke za posmatrača u trenutku kada njegov časovnik pokazuje vreme $t'_0$ jednak
$x_0'=\frac{x_0-v(vx_0/c^2+t_0\gamma)}{\gamma}=x_0\gamma-vt_0$ , odakle je jasno da se tačka P kreće u negativnom smeru x-ose brzinom $v$ .

Ako neka tačka miruje u sistemu S u položaju $x_0$ , ona u sistemu S' ima zakon kretanja
$x'=x_0\gamma-vt'.$

Sad primenite to zamenjujući $x_0$ sa $0,l,2l,3l$
dobićete zakone kretanja krajeva štapova, kao i kontrakciju njihovih dužina.

Radi jednostavnosti uzmimo za početne uslove $(x_0,t_0)=(0,0)$ i
ubacim u sve one formule iznad.
Izračunam iz ovih gore formula da je $x'_0=0, t'_0=0$
što znači da se sistemi S' I S u startu poklapaju.
Pa je $x'=-vt'=\frac{-vt}{\gamma}.$
Sad se najprije pomučimo da izračunamo t(0),t(l),..he,he.
(A Dane je želio razmotriti dva sistema koji se međusobno nikad ne poklapaju!)
Tu varijantu STR rješava na vrlo spektakularan način, pa ću je pokušati osporiti
u narednom svom razmatranju.

Potpis

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

Re: Teorija Relativnosti 16.12.2008. u 17:16 · pre 218 meseci #2028

@zzzz,

$x'=-vt'$ je zakon kretanja prostornog koordinatnog pocetka sistema S u sistemu S'. Kako mislis da ga primenis na tacke koje u sistemu S nisu jednake koordinatnom pocetku? Izabrao si specijalan slucaj mojih formula, pa poceo taj specijalan slucaj da primenjujes u opstem slucaju. Na taj nacin mozes zakljuciti da je svaka matematicka funkcija konstantna.

Citat:

zzzz: (A Dane je želio razmotriti dva sistema koji se međusobno nikad ne poklapaju!)
Tu varijantu STR rješava na vrlo spektakularan način, pa ću je pokušati osporiti
u narednom svom razmatranju.

To se resava upotrebom Poenkareovih transformacija umesto Lorencovih. Time nista ne dobijas i nista ne gubis. Da, sistemima koji su povezani Lorencovim transformacijama se prostorvremsnski koordinatni poceci poklapaju.

Inace, rekao bih da se sa $\gamma$ obicno oznacava velicina $\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ , ali nema veze. Imas pravo na svoje oznake za koje napises sta znace.

@Spreco

OK, velicina $\sqrt{1-v^2/c^2}$ jeste geometrijska sredina velicina $c+v$ i $c-v$ , ali

1. Nije mi poznato da se Ajnstajn pozivao na to da je neka velicina geometrijska, a ne harmonijska sredina nekih drugih velicina. Obrazlozenja su sasvim druge prirode.
2. Ne znam sta se moze time obrazloziti. Zbog cega je bitno to sto je neka velicina jednaka nekoj od standardnih sredina nekih drugih velicina?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Teorija Relativnosti 16.12.2008. u 17:28 · pre 218 meseci #2029

Za zzz, veličina x' i kod Ajnštajna i kod Supeka je x' = ct' = n vt' , te je samo i upotrebljavam u tom značenju.
Za Nedeljka, nije se Ajnštajn pozivao na A - aritmetičku sredinu (ct = x) , G-geometrijsku sredinu (2ct') i H-harmonijsku sredinu (2l_0) za dužine (ct + vt) = 2ct_1 i (ct - vt) = 2ct_2 , jer Ajnštajn to nije ni uočio!
Ajnštajn uopšte nije obradio ISR na svestran i temeljit način!!![google]Značenje x' = ct' i x = ct[/google] Nemojte samo poistovjetiti Ajnštajnovo t' i Lorencovo t' ( koristim jednake oznake samo zbog takvih oznaka u udžbenicima).

Re: Teorija Relativnosti 16.12.2008. u 19:20 · pre 218 meseci #2030

Pre svega zahvaljujem Milanu na lepoj "slikici"

Citat:

NedeljkoSad primenite to zamenjujući x₀ sa 0, l, 2l, 3l i dobićete zakone kretanja krajeva štapova, kao i kontrakciju njihovih dužina
...Ako sam dobro razumeo, svi stapovi miruju na zemlji, imaju isti pravac, a posmatrac trci po zemlji brzinom v u odnosu na zemlju.

Mislim da niko nije razumeo šta sam hteo da kažem, odnosno u čemu je zagonetka. Pogledajte malo bolje sliku.
Promatrač ima brzinu v, ali je on nekako morao postići tu brzinu. Zato sam i nacrtao na levoj strani slike štapove
kako oni izgledaju promatraču kada je promatrač u istom inercijalnom sistemu kao i štapovi i iz tog sistema on i
startuje. Posle toga on povećava brzinu dok ne dostigne brzinu v.

Dakle, slika prikazuje ono što promatrač vidi i tokom ubrzavanja, a ne samo kad je dostigao brzinu v. Iz slike se
jasno vidi da težišta triju obojenih štapova za promatrača moraju prelaziti različite puteve i imati različite dijagrame
brzina i ubrzanja ako štapovi kontrahiraju i ako su uvek u kontaktu. Ti različiti putevi na slici su označeni upravo
zbog toga. To je poenta zagonetke - RAZLIČITI PUTEVI.

ili drukčije:
Ne mogu štapovi biti u kontaktu ako kontrahiraju i prelaze jednake puteve

Pitanje dakle glasi: zašto obojeni štapovi (odnosno njihova težišta) prelaze različite puteve u odnosu na promatrača,
t. j. sa stanovišta tog promatrača?

Re: Teorija Relativnosti 16.12.2008. u 20:58 · pre 218 meseci #2031

E, pa nisi rekao da posmatrač počinje da trči iz stanja mirovanja. No, one jednačine koje sam napisao se mogu primeniti i na taj slučaj. Dakle, na to pitanje je posredno već bilo odgovoreno davanjem formula za opšti slučaj, ali, da ne bih sad davio sa izvodima i integralima, zadaj neke konkretne vrednosti za krajeve štapova u sistemu S vezanom za zemlju i neki konkretan zakon kretanja posmatrača u istom sistemu S.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Teorija Relativnosti 16.12.2008. u 21:50 · pre 218 meseci #2032

Nedeljko: Izabrao si specijalan slucaj mojih formula, pa poceo taj specijalan slucaj da primenjujes u opstem slucaju.
Ne, nego sam samo na zgodan način odabrao mjesto koordinatnom početku.Isto bi ispalo I da sam uzeo naprimjer P(100m,25s) ili opšte brojeve.Ishodišta bi se poklopila (0,0).Ali tad bi vukao ogromne kobasice kao naprimjer kad integralnim računom dođeš do površine kruga koji je opisan
u pravouglom koordinatnom sistemu, a centar mu nije u ishodištu.
$\beta= \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ ,po Einsteinu ali nema veze.
Evo STR (engleski prevod 1923):
http://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/www/
Dane:
Pitanje dakle glasi: zašto obojeni štapovi (odnosno njihova težišta) prelaze različite puteve u odnosu na promatrača,
t. j. sa stanovišta tog promatrača?
Formule transformacije ukazuju da su ishodišta koordinatnih sistema zajednička.Evo slikice
koja pokazuje šta ćeš dobiti ako koristiš račun za transformacije.Da, račun pokazuje razliku
puteva, kao I samu kontrakciju.Šta se može kad je tako opšteprihvaćeno.Žali se upravi vodovoda.
A šta će vidjeti drugi posmatrač iz nekog trećeg sistema?Nedaju se sva tri strpati na
isto ishodište!Šta kaže STR? Probaćemo razglabati i o tom.

Sprečo:
Za zzz, veličina x' i kod Ajnštajna i kod Supeka je x' = ct' = n vt' , te je samo i upotrebljavam u tom značenju.
U originalnom Ajnštavnovom radu su korištena grčka slova a ne x,y,z, a za brzinu svjetlosti v a ne c.Kasnije su prevodioci uskladili različite verzije te se došlo do neke
standardizacije.Uredu je što se držiš toga, ali ja sam slijedio Nedeljkove jednačine i
jasno je da ovdje x` predstavlja nešto drugo.

Potpis

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

Tri štapa za relativiste.GIF4.56k

Re: Teorija Relativnosti 17.12.2008. u 09:21 · pre 218 meseci #2033

@zzzz

Jos jednom, prostorvremenski koordinatni poceci ma kojih sistema povezanih Lorencovim transformacijama su zajednicki, bez izuzetka. Za to je dovoljno da se pozoves na Lorencove transformacije. Ako ti se to ne svidja, koristi Poenkareove transformacije.

Zamenio si u jednacinama koje sam napisao $x_0$ sa $0$ i dobio zakon kretanja koordinatnog pocetka sistema S u sistemu S'. To je u redu. E, onda si napisao

Citat:

zzzz: Sad se najprije pomučimo da izračunamo t(0),t(l),..he,he.

Kako ja to da protumacim, ako ne kao pokusaj primene zakona kretanja koordinatnog pocetka na druge tacke? I zasto t(l), a ne x(l)?

@galet@world

Ako nigde nisam omanuo, onda proracun za tvoje pitanje glasi:

Neka je u inercijalnom sistemu S (vezanom za zemlju) posmatrac u tacki $A(t)$ , gde je $A$ glatka funkcija i neka je materijalna tacka P nepokretna u sistemu S i ima prostornu koordinatu $x_0$ . Da bismo odredili njen polozaj $x_0'$ u trenutku $t'$ posmatracevog sistema (po njegovom casovniku), treba najpre izracunati $\tau$ takvo da je $t'=\int_0^\tau\sqrt{1-(A'(t)/c)^2}dt$ , a potom sa tom vrednoscu za $\tau$ izracunati $x_0'=(x_0-A(\tau))\sqrt{1-(A'(\tau)/c)^2}$ .

@zzzz

Jesi li odustao od stava da STR moze da funkcionise u masti, ili si jos uvek moj covek?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Teorija Relativnosti 17.12.2008. u 11:40 · pre 218 meseci #2034

U originalnim Ajnstajnovim radovima je V oznaka za brzinu prostiranja svetlosti u vakuumu, ali ja nisam govorio o Ajnstajnovim oznakama, vec o onim koje se koriste u savremenoj literaturi.

$c$ brzina prostiranja svetlosti u vakuumu.

$\beta=v/c$

$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Teorija Relativnosti 17.12.2008. u 17:08 · pre 218 meseci #2035

Citat:

Sprečo: Za Nedeljka, nije se Ajnštajn pozivao na A - aritmetičku sredinu (ct = x) , G-geometrijsku sredinu (2ct') i H-harmonijsku sredinu (2l_0) za dužine (ct + vt) = 2ct_1 i (ct - vt) = 2ct_2 , jer Ajnštajn to nije ni uočio!

Ja se ovde ne bavim istorijskim aspektima STR, niti me previse zanimaju. Ja zastupam stav da STR nema unutrasnjih protivrecnosti, to jest da se ne moze oboriti bez eksperimenata i to posmatrajuci STR onakvu kakva je ona danas. Ne zanima me previse sta je Ajnstajn znao, a do cega su drugi dosli posle njega, niti kakve je potvrde imala STR u ono vreme, a kakve ne, niti da li su se u radovima od pre stotinak godina potkrale neke greske. Zanima me samo onakva STR, kakva je danas prihvacena. Sve ostalo su aspekti istorijske prirode.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Teorija Relativnosti 17.12.2008. u 22:00 · pre 218 meseci #2036

Neću da citiram odgovore koji zaista nisu u redu. Ja to nisam pitao.
Pitao sam zašo su putevi različiti za obojene štapove, a dobio sam odgovor - evo ti formule pa sam izračunaj!
Nisam pitao kako se izračunava. Zašto bih izračunavao kad sam upravo rezultat te računice pokazao slikom.
Ja upravo tvrdim da to izračunavanje ne može biti tačno jer pokazuje da štapovi, koji su uvek u apsolutno
ravnopravnom odnosu prema pokretnom promatraču, za njega prelaze različite puteve.
Pitanje nije postavljeno na kineskom jeziku i glasi jednostavno da jednostavnije ne može biti.
Dobijam indirektan odgovor: zato što tako kažu formule STR.

1. U čemu je razlika u uslovima za obojene štapove ako prelaze različite puteve?

Obrišimo sve štapove i uzmimo samo jedan beli štap iste dužine l.

2. Kolika će biti dužina puta tog belog štapa za pokretnog promatrača P uz iste uslove - da li će biti kao put
crvenog štapa ili kao put plavog štapa ili kao put zelenog štapa?

Ovo su dva jednostavna i jasna pitanja na našem jeziku koja traže isto takve odgovore.

Re: Teorija Relativnosti 18.12.2008. u 02:33 · pre 218 meseci #2037

Pismena (i javna) molba za Nedeljka Stefanovića:
"Zagonetku za relativiste", koju je postavio D. Gaćeša, obradi prema svom "opšte prihvaćenom" i "naučno priznatom, verifikovanom i eksperimentalno dokazanom" načinu računanja (i dokazivanja) Ajnštajnove "kontrakcije dužina" u kretanju). Obradi to računski (formule), geometrijski (nacrtaj odgovarajuće slike) i opisno (objasni riječima) na primjeru predložene dužine AB = l_0 = 50,4m i brzina 0 < v < c < , omjera n = c/v = 5/3. Za početnu tačku P uzmi bilo koju tačku na svom radnom stolu, a dužinu AB postavi na početku svog računanja (P (0,0,0,0,.., 0,0,0,...)) tako da u toj tački P bude jedna od krajnjih tačaka ili središnja tačka duži AB.
Učini to "dobro djelo" radi pomoći u učenju studentima.
Čim sam ovo ispisao, odmah sam se osmjehnuo (osmijeh mi iznudila pomisao: "Koju li će "eskivažu" sada osmisliti i za šta će je vezati!").

Re: Teorija Relativnosti 18.12.2008. u 11:50 · pre 218 meseci #2038

galet@world

Tvoje pitanje "zasto" je verovatno filozofsko i nije predmet STR. Da, odgovor STR na tvoje pitanje je "zato sto moje formule tako kazu". Svaka teorija ce na svako pitanje dati takav odgovor. "Moje postavke predvidjaju da ce se pod tim uslovima desiti to i to". Ono sto mozes, je da nesto proracunas i da posle to uporedjujes sa eksperimentalno prikupljenim podacima.

Svi nerelativisti

No, buduci da iz STR niste uspeli da izvedete kontradikciju, a niste ni vrsili realne eksperimente, pa uporedjivali predvidjanja STR sa njima, sva vasa argumentacija se svodi na "Meni se STR nes svidja.", sto je u redu, ali kazite onda tako.

Spreco

Pa, ja se i drzim "naucno opsteprihvacene" STR, a ne neke druge teorije STR'. Ako imas neke primedbe, iznesi svoj racun za isti misaoni eksperiment preko STR, pa onda da vidimo ko gresi.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Teorija Relativnosti 18.12.2008. u 11:53 · pre 218 meseci #2039

Citat:

galet@world: 1. U čemu je razlika u uslovima za obojene štapove ako prelaze različite puteve?

U rastojanju tezista od mesta sa kojeg pocinje trcanje posmatraca u trenutku kada je posmatrac poceo da trci.

Citat:

galet@world: Obrišimo sve štapove i uzmimo samo jedan beli štap iste dužine l.

2. Kolika će biti dužina puta tog belog štapa za pokretnog promatrača P uz iste uslove - da li će biti kao put
crvenog štapa ili kao put plavog štapa ili kao put zelenog štapa?

Zavisi od toga gde stavis taj stap u odnosu na startno mesto posmatraca u trenutku starta.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Teorija Relativnosti 18.12.2008. u 17:50 · pre 218 meseci #2040

Citat:

Nedeljko: Zavisi od toga gde stavis taj stap u odnosu na startno mesto posmatraca u trenutku starta.

Ovo je zaista neverovatno, a ja sam mislio da su sva mesta u prostoru ravnopravna.

A reci mi, molim te, kojom brzinom se kreće štap u momentu prestanka ubrzavanja, pošto se svaka tačka štapa kreće
drukčije od ostalih jer "u trenutku starta" ne mogu da postavim promatrača tako da u odnosu na svaku
tačku štapa ima isto "startno mesto"?. Štap je dugačak, zar ne?

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme