Ja ne znam kako ti shvataš prostor, ali na istom skupu tačaka se mogu zadati razne metrike. Recimo, neka je

Nije teško pokazati da je to jedna rastuća nelinearna beskonačno-diferencijabilna bijakcija skupa realnih brojeva na samog sebe koja nulu preslikava u nulu u nulu. Uvedi umesto euklidske metrike u prostor

sledeću metriku:

I to će biti metrika u prostoru

jer će zadovoljiti sve aksiome metrike iz teorije metričkih prostora. No, nisam morao ići tako daleko. Mogao sam dati primer i sledeće metrike u

Međutim, iako su to metrike u matematičkom smislu potpuno ravnopravne sa svim ostalim, one nisu fizički relevantne. Dakle, ako bih u spoljnom svetu najpre izabrao pravougli dekartov koordinatni sistem, a potom rastojanje računao sa tim koordinatama po nestandardnim formulama (kao što su one gore), onda bih na istom skupu tačaka dobio sasvim drugačiju metriku sa sasvim drugim geodezijskim linijama.
Ako bih se tvrdoglavo držao takve metrike pri svim svojim merenjima, onda bi isti štap menjao svoju dužinu u toj metrici kada ga pomerim ili okrenem. I sa takvom metrikom bi se mogle dobiti iste fizičke teorije, samo što bi se jednačine promenile i strašno iskomplikovale. Od svih teorija koje podjednako dobro opisuju eksperimente najbolja je ona koja je najjednostavnija.
E zato fizičare ne interesuju takve metrike, iako su matematički potpuno ravnopravne sa svim drugim. Ono što si napisao o metrici se upravo svodi na to da štap ne menja dužinu kada ga zarotiramo ili transliramo. No, to je itekako izbor metrike. Sasvim je druga stvar što svi fizičari koriste istu metriku, to jest, što je taj izbor prećutan. Drugim rečima, izbor je jednom napravljen i dogovoren i niko ne koristi drugu metriku. Ta metrika je u potpunosti određena multiplikativnom konstantom, odnosno izborom merne jedinice.
Međutim, Matematika dopušta uvodjenje različitih metrika. Svaka funkcija koja zadovolji neke uslove se u Matematici zove metrikom, i za svaku takvu funkciju važe odgovarajuće matematičke teoreme. E, tu već dolazimo do jedne od razlika između Matematike i Fizike. U Fizici se koristi jedna jedina metrika, a u Matematici se mogu zadavati razne metrike.
Kada fizičar menja koordinatni sistem, on izračunava matematički oblik te metrike u drugom koordinatnom sistemu. To je zato što on metriku ne menja. On želi da izračuna u drugom koordinatnom sistemu dužinu štapa koji miruje u prvom koordinatnom sistemu. Drugim rečima, on izračunava iz različitih koordinatnih sistema isto rastojanje. Ali u Matematici je moguće razmatrati i različita "rastojanja".
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.